differensial ligning

[gill]

eksamensoppgave 23

Oppgaven

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100 ... amling.pdf

fasiten

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2 ... lfov07.pdf

jeg får uttrykket

at forandring i fart er poroporsjonal med farten

[tex]\frac{dV}{dt}=kV^2[/tex]

får et integral på hver side

[tex]\frac{dV}{V^2}=kdt[/tex]

Vil finne k:

integrerer

[tex]-[\frac{1}{V}]_{v_0}^{v_1}=k[t]_{t_0}^{t_1}[/tex]

siden vi har grenser over trenger jeg ikke å ta med konstant i uttryket. Vet at etter 5 minutter er farten 8 kilometer og at ved t=0 er farten 10 km:

[tex]-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=k5[/tex]

[tex]-\frac{1}{40}=k5[/tex]

[tex]-\frac{1}{200}=k[/tex]

bruker det i uttrykket for å finne tiden det tar før farten er 0,5 km:

[tex]-[\frac{1}{V}]_{10}^{0,5}=-\frac{1}{200}[t]_{0}^{t_1}[/tex]

[tex]\frac{19\cdot 200}{10}=t[/tex]

[tex]380=t[/tex]

380 minutter er samme som fasit men de uttrykker det i timer. Blir det feil å uttrykke i minutter eventuelt er det noen grunn til å uttrykke i timer. Jeg lurer og på hvordan de finner fart for jeg finner C:

[tex]-\frac{1}{V}=-\frac{1}{200}t+C[/tex]

Vet at V=10 når t=0

[tex]-\frac{1}{10}=C[/tex]

[tex]-\frac{1}{V}=-\frac{1}{200}t-\frac{1}{10}[/tex]

[tex]V=\frac{1}{\frac{1}{200}t+\frac{1}{10}}[/tex]

prøver å integrere tsiden for å finne strekning

[tex]S=\int \frac{200}{20+t}[/tex]

[tex]S=200ln(20+t)]_{t_0=0}^{t_1=380}{[/tex]

det ble feil