integrasjon

[miyukii]

Grafen til funksjonen y=tanx, x∈[- [symbol:pi] /4, [symbol:pi] /4] er gitt.
a) Finn arealet av det skraverte området. ( [ln f(x)]' = f'(x)/f(x) ).
b) Det skraverte flatestykket dreies [symbol:pi] radianer om x-aksen. Finn volumet av omdreiningsgjenstanden som oppstår. ( tips: den deriverte av f(x) = tanx )

[Nebuchadnezzar]

Kan du skrive hva du har prøvd?

på a) Kan du enten se at du har like mye negativt areal (areal under x-aksen) som positivt areal. Og derfor er arealet null.

Eller du kan prøve å regne ut integralet. Her er det lurt å skrive om tan og bruke en luddig substitusjon.

på b) Her kan du bruke at

[tex]A = \pi r^2 = \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (f(x))^2 dx = \pi 2 \int_{0}^{\pi/4} (\tan x)^2 dx[/tex]

pga symmetri omkring x-aksen

[Vektormannen]

Nebu: I a) tror jeg man mener det faktiske arealet som er skravert. Areal i seg selv har ikke fortegn (men ubestemte integraler har det). Så slik jeg tolker det her så blir det det dobbelte av integralet fra 0 til [tex]\frac{\pi}{4}[/tex].

[\input{username}]

[tex]A=A_1+A_2[/tex]

[tex]A=\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\tan x~dx - \int^{0}_{-\frac{\pi}{4}}\tan x~dx[/tex]

[miyukii]

på a) har jeg gjort dette: A[sub] 1[/sub] = [sup] [symbol:pi] /4[/sup] [symbol:integral] [sub]0[/sub] tanx dx = [sinx / cosx][sub]0[/sub][sup] [symbol:pi]/4[/sup] = 1
A[sub]2[/sub] = [sup] 0[/sup] [symbol:integral] [sub]- [symbol:pi] /4[/sub] tanx dx = [sinx / cosx][sub]- [symbol:pi] /4[/sub][sup]0[/sup] = 1

A= A1 + A2 = 1 +1 = 2

Men jeg brukte ikke [ln f(x)]' = f'(x)/f(x).
Jeg lurte på om jeg egentlig skulle bruke denne utregningen:
A[sub] 1[/sub] = [sub]0[/sub] [symbol:integral] [sup] [symbol:pi]/4 [/sup] tanx dx = [sub]0[/sub] [symbol:integral] [sup][symbol:pi]/4[/sup] (sinx / cosx) dx = [symbol:integral] -du / u = - ln |u| = - ln |cosx| = [-ln cosx][sub]0[/sub][sup] [symbol:pi] /4[/sup] = ....

Så regne ut svaret for både under og over x-aksen og summere de.[sup][/sup][sup][/sup]

[Nebuchadnezzar]

Siste metoden er korrekt. I det første forsøket ditt har du vel glemt å integrere?

(En metode som ofte fungerer er bare å derivere svaret ditt, enten for hånd eller via maskin.)

Deriverer du via maskin, kan geogebra ofte være nyttig.

[miyukii]

jeg trodde man antideriverte tanx slik tanx = sinx/cosx og ikke noe videre. Men da var det greit. takk for hjelpen

[\input{username}]

Nei.

Kort og godt:

[tex]\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}[/tex]

og

[tex]\int\tan xdx=-\ln |\cos x|+C[/tex]