Vektorregning - avstandsformelen

[Razzy]

Løsning (laget av foreleser)






Spørsmål:


d) Kunne jeg brukt avstandsformelen for å finne høyden?

Avstandsformelen: [tex]$$q = \left| {{{a{x_1} + b{y_1} + c{z_1} + d} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right|$$[/tex]

Input data: Punktet [tex]$$T\left( {4,5,12} \right),$$[/tex] [tex]$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \left[ {14, - 7, - 7} \right]$$[/tex] og [tex]$$\alpha :\;2x - y - z + 2 = 0$$[/tex]

Innsatt: [tex]$$q = \left| {{{14 \cdot 4 + \left( { - 7} \right) \cdot 5 + \left( { - 7} \right) \cdot 12 + 2} \over {\sqrt {{{14}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }}} \right| = {{61} \over {7\sqrt 6 }}$$[/tex]

[tex]$${{61} \over {7\sqrt 6 }}\; \ne \;{7 \over 3}\sqrt 3 $$[/tex]


1. Dette burde gått?

2. Her var jeg nødt til å bruke [tex]$$\left[ {14, - 7, - 7} \right]$$[/tex] og ikke [tex]$$\left[ {2, - 1, - 1} \right]$$[/tex] fordi jeg trengte hele normalvektorens lengde og ikke kun retningen den går i? Enige

[Vektormannen]

1. Ja, det kan du fint gjøre! Avstanden er jo nettopp høyden ned til planet fra punktet T.

2. I avstansformelen så står a, b, c og d for konstantene i planligningen. Så det riktige ville vært

[tex]q = \left|\frac{2 \cdot 4 - 5 - 12 + 2}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}\right| = \left|\frac{-7}{\sqrt{6}}\right| = \frac{7}{\sqrt{6}}[/tex]

Nå ser jeg at dette er forskjellig fra den høyden som står i fasiten din. Jeg skal se om jeg har oversett noe eller om jeg har tenkt feil, men jeg mener hvertfall at dette svaret ikke bør bli forskjellig!

Når det gjelder måten du regnet på så ville det vært ritkig, med unntak av at konstanten d nå ville blitt 14 i stedet for 2, siden du i praksis har ganget planligningen med 7. Det er ingen grunn til å gjøre det, men hvis du bytter ut d med 14 så vil regningen din også bli riktig.

EDIT: Feilen i fasiten er at de får at [tex]\vec{AB} \times \vec{AC} = 7[2,1,1][/tex], men så bruker de plutselig 7[1,1,1] senere! Det riktige volumet fås ved å bruke [tex]7[2,1,1][/tex]. Da fås også samme høyde som når du benytter avstandsformelen.

[Razzy]

1. Ja, det kan du fint gjøre! Avstanden er jo nettopp høyden ned til planet fra punktet T.

2. I avstansformelen så står a, b, c og d for konstantene i planligningen. Så det riktige ville vært

[tex]q = \left|\frac{2 \cdot 4 - 5 - 12 + 2}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}\right| = \left|\frac{-7}{\sqrt{6}}\right| = \frac{7}{\sqrt{6}}[/tex]

Nå ser jeg at dette er forskjellig fra den høyden som står i fasiten din. Jeg skal se om jeg har oversett noe eller om jeg har tenkt feil, men jeg mener hvertfall at dette svaret ikke bør bli forskjellig!

Når det gjelder måten du regnet på så ville det vært ritkig, med unntak av at konstanten d nå ville blitt 14 i stedet for 2, siden du i praksis har ganget planligningen med 7. Det er ingen grunn til å gjøre det, men hvis du bytter ut d med 14 så vil regningen din også bli riktig.

EDIT: Feilen i fasiten er at de får at [tex]\vec{AB} \times \vec{AC} = 7[2,1,1][/tex], men så bruker de plutselig 7[1,1,1] senere! Det riktige volumet fås ved å bruke [tex]7[2,1,1][/tex]. Da fås også samme høyde som når du benytter avstandsformelen.

Hei Vektormannen og tusen takk for hjelpen.

Jeg er veldig fornøyd med dette, for det betyr at det er riktig å bruke avstandsformelen her - det gjelder bare å bruke den riktig.

Takker igjen, nå kan jeg starte studiedagen med å oppklare oppgaven en gang for alle