sannsynlighet

[evig student]

Oppgaven: Basert på lang erfaring vet vi at en amerikansk basketballspiller får ballen i kurven på 15 av 16 straffekast.

I et underholdningsprogram på tv skal basketballspilleren ha en oppvisning , og skal kaste ballen 10 ganger mot kurven. I det følgende skal vi regne på sannsynlighetene for hvor mange ganger spilleren får ballen i kurven på disse kastene.


b) Bestem følgende sannsynligheter:

i) Basketballspilleren får ballen i krurven på alle 10 kastene.

Altså; sannsynligheten for treff på alle kast er sannsynligheten for treff på ett kast opphøyd i anntal kast -->

0,93^10=0,48

stemmer dette? Får ikke tallet til å stemme helt. Han var jo temmelig god, med treff på 15 av 16 kast. Ville da trodd at sannsynligheten for treff på alle de 10 kastene ble 0,9 ettellerannet?


og jeg skjønner fortsatt ikke ii) helt dessverre.

ii) Basketballspilleren bommer på kurven på mist to av kastene.

0,07^8?

[Kork]

i) stemmer ser det ut som, du kan jo teste med formelen for binomisk sannsynlighet, forklaringen i formelsamlingen for denne formelen er veldig god syns jeg.

ii) edit: øh, jeg prøver igjen om litt =P

[Janhaa]

på siste deloppgava kan vel dette brukes

[tex]P=\sum_0^8{10\choose x}(15/16)^x(1/16)^{10-x}[/tex]

[evig student]

Jeg er dessverre ikke på det nivået at jeg skjønner/klarer å lese den formelen der. Sitter med 6 ulike lærebøker her, men jeg fatter ikke hvilke tall som skal inn hvor i den formelen.

Men i) klarte jeg jo å regne ut uten formel - med å opphøye P i anntal kast.

Går det ikke ann å gjøre det tilsvarende "enkelt" med sannsynligheten for bom? For når de spør etter sannsynligheten for bom på minst to kast, så kunne de vel like så godt spurt om sannsynligheten for at han bommer på kast 2,3,4,5,6,7,8 og 9, ikke sant? (eller tenker jeg feil?)

sannsynligheten for bom er 1-0,93 = 0,07. Kan jeg gjøre noe med dette tallet for å få sannsynligheten for bom på de 8 kastene nå?

[Vektormannen]

Her er det veldig lurt å benytte komplementærhendelser, slik Kork foreslår. Sannsynligheten for at noe inntreffer er 1 minus sannsynligheten for at det ikke inntreffer.

Det motsatte av "minst to" er "ingen" eller "nøyaktig én". Er du enig i det? Det betyr at P(minst to) = 1 - (P(ingen) + P(nøyaktig én)).

Kan du finne P(ingen)? Kan du finne P(nøyaktig én)? I sistnevnte utregning må du huske at det er 10 forskjellige måter han kan treffe akkurat én gang på. Du må ta hensyn til at alle de forskjellige måtene er like riktige.

[evig student]

for å svare på det du spør om; nei,d et tror jeg ikke at jeg klarer å finne ...

Sannsynligheten for ingen er 0,07.

P(minst to)=1-0,07+sannsynligheten for nøyaktig én.

Er dette svaret? Så da mangler jeg bare å skjønne hvordan jeg regner ut sannsynligheten for nøyaktig én? Og er ikke det 15/16, som er 0,93?

Og at det er 10 forskjellige måter han kan treffe nøyaktig én gang på - da tenker du vel på bom på første, treff på andre, bom på resten, eller bom på de to første, treff på tredje og bom på resten - osv?

Jeg tror jeg trenger flere hint ... Og gjerne på ungdomsskole-nivå ...

[Vektormannen]

Nei, sannsynligheten for nøyaktig én er ikke bare 15/16. 15/16 er sannsynligheten for at han treffer. Men vi er ute etter at han skal treffe én gang og ikke treffe de 9 andre gangene! Den sannsynligheten blir [tex]\left(\frac{15}{16}\right) \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^9[/tex]. Så må vi ta med at dette kan inntreffe på 10 måter, så sannsynligheten for nøyaktig én er 10 ganger dette.

Sannsynligheten for ingen treff er heller ikke riktig. Hvordan regnet du ut den?

Husk også på at P(Minst to) = 1 - P(ingen eller nøyaktig én) = 1 - (P(ingen) + P(nøyaktig én)). Pass på parentesen her. Både P(ingen) og P(nøyaktig én) skal trekkes fra 1.

[evig student]

Så blir det (15/16)*(1/16)^9 ti ganger?

Det kan godt hende jeg skjønner det etter å ha smakt litt på den, men foreløpig skjønner jeg det fortsatt ikke. Dessverre.

Eksamen er i morgen, så jeg har ikke så alt for god tid til å sitte med denne ene oppgaven heller :\ Og jeg skjønner godt om dere gir meg opp :p

sannsynligheten for ingen treff "fant jeg" ved å ta 1-sannsynligheten for treff, som jeg regnet ut til å bli 15/16=0,93.

Men det var vel her jeg skulle tatt 1 - sannsynligheten for ett treff?

Og i og med at oppgaven spør etter sannsynligheten for treff på alle de ti kastene, bør ikke da 10-tallet være med i formelen/utregningen et sted?

[Vektormannen]

Ja, det blir slik. Det er flere måter å tenke på dette på, men jeg liker å tenke på ordene "OG" og "ELLER". Når du skal finne sannsynligheten for at flere uavhengige hendelser inntreffer samtidig, dvs. at den ene skjer OG den andre skjer OG den tredje skjer, osv., så ganger du sannsynlighetene for hver hendelse sammen. Når du skal finne sannsynligheten for at én hendelse skjer ELLER en annen ELLER en tredje, så legger du sammen sannsynlighetene.

Her får vi da:

P(nøyaktig én) = P(nøyaktig én i første kast ELLER nøyaktig én i andre kast ELLER nøyaktig én i tredje kast ...) = P(nøyaktig én i første kast) + P(nøyaktig én i andre kast) + P(nøyaktig én i tredje kast) + ... + P(nøyaktig én i tiende kast).

Sannsynligheten for at han får nøyaktig ett treff uansett om det inntreffer med en gang eller i det sjette kastet må være det samme, ikke sant? Så her har vi 10 like sannsynligheter plusset sammen. Det er det samme som 10 ganger sannsynligheten for nøyaktig én i en bestemt rekkefølge. Det gjenstår altså å finne P(ett treff i bestemt rekkefølge). Det er det samme som

P(ett treff i bestemt rekkefølge) = P(treff OG ikke treff OG ikke treff OG ...) = P(treff) * P(ikke treff) * P(ikke treff) * ... * P(ikke treff)

Det er her 9 stk av P(ikke treff). Det gir oss da

[tex]P(\text{ett treff i bestemt rekkefolge}) = P(\text{treff}) \cdot (P(\text{ikke treff}))^9 = \frac{15}{16} \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^9[/tex].

Da blir

[tex]P(\text{noyaktig en}) = 10 P(\text{ett treff i bestemt rekkefolge}) = 10 \cdot \frac{15}{16} \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^9[/tex].

Nå er dette selvsagt gjort veldig grundig og overkomplisert, men kanskje du ser logikken i utledningen? Hvis ikke er det kanskje andre her som har et annet perspektiv på det.

Når det gjelder P(ingen) så kan du tenke på lignende måte. Sannsynligheten for at han ikke treffer på ett kast er 1/16 = 0.93. Det er riktig det, men det du skal finne er jo sannsynligheten for at han ikke treffer noen av gangene. Det vil si at han ikke skal treffe første gang OG ikke andre gang OG ikke tredje gang, og så videre. Du må da multiplisere sammen sannsynligheten for at det skjer hver gang. Med andre ord får du da [tex]0.93 \cdot 0.93 \cdot ... \cdot 0.93 = 0.93^{10}[/tex].

[evig student]

Tusen takk! Nå begynner det å demre litt her. Og ja, jeg trengte det virkelig så nøye og overforklart!

Men selv om jeg føler at jeg skjønner det så er jeg litt redd jeg ikke fikk til utregningen. Tallet ble så voldsomt stort ...

Sannsynligheten for ett treff i bestemt rekkefølge:

15/16*(1/16)^9

Gir:
0,9375*(0,0625)^9 (<-- dette tallet blir jo kjempehøyt ..)

=1,36424205E-11

Også multiplisere dette tallet med 10 igjen = fortsatt et veldig stort tall

Er dette riktig?




og ii), sannsynligheten for at han bommer på minst to av kastene var det ... Det blir da (1/16)^8 = 0,625^8 = også et svimlende høyt tall


Jeg følte at jeg skjønte det du skrev nå altså. Skal regne gjennom det enda en gang til. Det er svarene mine som får meg til å tvile på at dette ble riktig likevel ...

[Vektormannen]

Du får ikke kjempehøye tall når du opphøyer noe som er mindre enn 1. Du får heller kjempesmå tall. 1.36424205E-11 betyr [tex]1.3642405 \cdot 10^{-11}[/tex]. Det er et veldig lite tall.

Når dette er sagt så ser jeg jo nå at jeg har lest oppgaveteksten feil! Det står at han skal bomme på minst to av kastene, mens jeg har lest det som at han skal treffe på minst to av kastene! Fremgangsmåten blir helt uforandret, men tallene man bruker blir nødvendigvis annerledes.

Sannsynligheten for å bomme minst to ganger er det samme som 1 minus sannsynligheten for å ikke bomme noen ganger og sannsynliheten for å bomme akkurat én gang. Dette er helt analogt med det som ble forklart ovenfor. Så vi har altså: P(bomme minst to ganger) = 1 - (P(ingen bom) + P(bomme akkurat én gang)). P(ingen bom) kan du sikkert finne? Hva blir P(bomme akkurat én gang)? Fremgangsmåten blir som sagt som forklart ovenfor.

[evig student]

Ok, om det bittelille tallet er korrekt så har jeg skjønt det, og er veldig fornøyd! Tusen takk for god hjelp og tålmodig sjel!

[evig student]

og bare sånn for sikkerhets skyld:

Sannsynligheten for EN bom i bestemt rekkefølge:
P(bom)*(P(ikke bom)^9

=

1/16*(15/16)^9

=

0,0625*0,9375^9

=0,0349 = sannsynligheten for EN bom.

Sannsynligheten for minst to bom:

1-15/16+0,0349

=

0,0974


?



Nå blir det litt flaut om dette ikke er rett siden jeg sa jeg skjønte det :p

[Vektormannen]

Det er riktig at sannsynligheten for EN bom i akkurat en bestemt rekkefølge er 0.0349. Så må du huske at sannsynligheten for én bom (uansett rekkefølge) er 10 ganger dette (som diskutert tidligere.)

Med P(ingen bom) så mente jeg ingen bom noen av gangene, så det blir ikke bare 15/16. Er du enig iat det er det samme som P(treff alle gangene)? Dvs. den sannsynligheten du fant i den første oppgaven.

[evig student]

ok, nå da :

1-1,364205*10^-10 + 0,0349 = 1,0349

dette tallet blir vel for stort igjen ..?