Integrasjon ved substitusjon

[anna_92]

Holder på å øve til eksamen og kom over et lite problem med integrasjon. Håper noen kan hjelpe meg lengre på vei...

[symbol:integral] [tex]1/((x^2)+1)^2 xdx[/tex]

1.Etter hva jeg har skjønt er er kjernen her: x[sup]2[/sup]+1.
2. Videre ser jeg at den deriverte av kjernen er: u'= du/dx = 2x
Jeg får dermed 1/2 du = xdx

Så får jeg følgende:

[symbol:integral] 1/u[sup]2[/sup]*1/2 du = 1/2 [symbol:integral] u[sup]-2[/sup] du

Men etter det sitter jeg temmelig fast... Noen som har et råd å gi? Dette er integrasjon på MATH100 nivå, altså ikke noe kalkulus nivå...

Og beklager mye paranteser og slikt, fant ikke noe kode for brøk...

[Nebuchadnezzar]

For å lage brøker skriver en

[tex]\frac{a}{b}[/tex]

God innføring

http://www.diskusjon.no/index.php?showtopic=1080165

Om en ikke vet hvordan noe skrives i latex, er denne siden under svært nyttig.

http://detexify.kirelabs.org/classify.html

---------------------------------------

Her står det litt om integrasjon

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=28110

Litt av poenget med substitusjon, er at en skal få et nytt uttrykk, helt fri for den gammle variabelen.

Så bytter vi ut u med x. Så kan ikke stykket vårt inneholde noen x`er når vi skal integrere med tanke på u.

Måten vi tenker får å finne ut hvilken substitusjon er relativt enkel (som regel)

Dersom jeg ser den deriverte av hva jeg velger som u i uttrykket mitt, så er denne substitusjonen gull. Eksempelvis

[tex]\int \frac{x}{x^2+1} dx[/tex]

her kan det være lurt å velge u=x^2+1 , fordi når vi deriverer u får vi x. Som har samme grad som x.

Uttrykket ditt er litt værre. Her må en velge substitusjonen [tex]x = \tan u[/tex]. Og grunnen kommer av kanseleringene vi får. Eller at vi husker på de deriverte av inversetrigonomettriske funksjoner

[tex]\left( \arctan x \right)^{\prime} = \frac{1}{x^2+1}[/tex]

Her er en video som forklarer ting ganske bra

http://www.youtube.com/watch?v=fD7MbnXb ... ure=relmfu

og her er en løsning

http://answers.yahoo.com/question/index ... 241AA1qvWc

EDIT:

Er du sikker på at du skrev problemet ditt rett? Fordi dette er ganske tung kalkulus..... Er du sikker på at integralet ditt ikke er

[tex]\int \frac{x}{\left( x^2+1\right)} dx[/tex]

? Du skrev jo...

[tex]\int \frac{1}{\left( x^2+1\right)} dx[/tex]

[Karl_Erik]

Hei! Den integrerte av [tex]\frac 1 {x^2}[/tex] med hensyn på x er [tex]- \frac 1 x[/tex]. Du har sikkert sett en regel som forteller deg hva den integrerte av [tex]x^m[/tex] med hensyn på x er, og i dette tilfellet er [tex]m=-2[/tex].

[anna_92]

EDIT:

Er du sikker på at du skrev problemet ditt rett? Fordi dette er ganske tung kalkulus..... Er du sikker på at integralet ditt ikke er

[tex]\int \frac{x}{\left( x^2+1\right)} dx[/tex]

? Du skrev jo...

[tex]\int \frac{1}{\left( x^2+1\right)} dx[/tex]

Takk for raskt svar. Det er: [tex]\int \frac{1}{\left( x^2+1\right)} dx[/tex][/quote] som er korrekt... Synes det er litt rart at det er en sånn oppgave der da, det var eksamensoppgavet i kurset for noen år siden. Og nevneren er opphøyd i annen igjen...

[Nebuchadnezzar]

Som sagt, bruk at [tex]x = \tan u[/tex]