lim 2xcos(1/x) når x -> 0
i følge LF er dette 0.
Meen! cos(1/x) finnes vel ikke? Fordi den bare går opp og ned mellom 1 / -1.
Kan du gange en eksisterende grense med en ikke-eksiterende grense og få en faktisk grense?
Grenseverdi 2xcos(1/x)
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Nei, men dersom du legger sammen to grenser som ikke eksisterer kan du få en grense som eksisterer. Det mest klassiske eksempelet er
[tex] \lim_{x \to \infty}\:{\sin^2x}\:+\:{\cos^2x} [/tex]
=)
EDIT:
Idiotisk feil
[tex] \lim_{x \to \infty}\:{\sin^2x}\:+\:{\cos^2x} [/tex]
=)
EDIT:
Idiotisk feil
Last edited by Nebuchadnezzar on 20/12-2011 15:40, edited 1 time in total.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
1?-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Man får 1 ja. Litt av trikset her er at selv om man har uttrykk på formen
[tex]\infty - \infty [/tex]
Så er det ikke sikkert dette blir null! Det er fordi uendelig er en grense og ikke et tall, og operasjonen subtraksjon, divisjon er ikke definert for grenser.
Et annet eksempel er
[tex]\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x[/tex]
Her tenker du kanskje at det inne i parentesene vokser mot 1, og da står vi igjen med
[tex]1^{\infty}[/tex] og dette må jo bli [tex]1[/tex] ?
Dette er ikke riktig for heller ikke eksponensiering er definert for uendelig, eller grenser generell. Det kan jo være at funksjonen går veeeldig sakte mot 1, mens eksponensieringen vokser kjempefort. Da går ikke funksjonen mot 1. I dette tilfellet så har vi at
[tex]\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e[/tex]
For å slippe på alt dette her, er det bedre å bare bruke kjenteregneregler.
L`hoptial, sammenligningstesten, ta logaritmen på begge sider osv.
[tex]\infty - \infty [/tex]
Så er det ikke sikkert dette blir null! Det er fordi uendelig er en grense og ikke et tall, og operasjonen subtraksjon, divisjon er ikke definert for grenser.
Et annet eksempel er
[tex]\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x[/tex]
Her tenker du kanskje at det inne i parentesene vokser mot 1, og da står vi igjen med
[tex]1^{\infty}[/tex] og dette må jo bli [tex]1[/tex] ?
Dette er ikke riktig for heller ikke eksponensiering er definert for uendelig, eller grenser generell. Det kan jo være at funksjonen går veeeldig sakte mot 1, mens eksponensieringen vokser kjempefort. Da går ikke funksjonen mot 1. I dette tilfellet så har vi at
[tex]\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e[/tex]
For å slippe på alt dette her, er det bedre å bare bruke kjenteregneregler.
L`hoptial, sammenligningstesten, ta logaritmen på begge sider osv.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Det enkleste er vel å vise dette gjennom bruk av skviseteoremet:
Vi har:
[tex]-1 \leq cos(\frac{1}{x}) \leq 1[/tex]
[tex] -2x \leq 2xcos(\frac{1}{x}) \leq 2x[/tex]
Ettersom
[tex]\lim_{x \to 0} -2x = 0[/tex]
og
[tex]\lim_{x \to 0} 2x = 0[/tex]
følger det av skviseteoremet at
[tex]\lim_{x \to 0} 2xcos(\frac{1}{x}) = 0[/tex]
Vi har:
[tex]-1 \leq cos(\frac{1}{x}) \leq 1[/tex]
[tex] -2x \leq 2xcos(\frac{1}{x}) \leq 2x[/tex]
Ettersom
[tex]\lim_{x \to 0} -2x = 0[/tex]
og
[tex]\lim_{x \to 0} 2x = 0[/tex]
følger det av skviseteoremet at
[tex]\lim_{x \to 0} 2xcos(\frac{1}{x}) = 0[/tex]