Vi vet at :
[tex]cosh(arcosh(x))=x[/tex]
[tex]cosh(arcosh(x^2))=x^2[/tex]
Men når vi begynner å sette inn tall foran [tex]\: arcosh \:[/tex]
da skjer det plutselig endringer, eksempel:
[tex]cosh(2arcosh(x))=2x^2-1[/tex]
[tex]cosh(3arcosh(x))=4x^3-3x[/tex]
[tex]cosh(4arcosh(x))=8x^4-8x^2+1[/tex]
[tex]cosh(5arcosh(x))=16x^5-20x^3+5x[/tex]
Hva er egentlig regelen for å regne ut:
[tex]cosh(b \: arcosh(x)) \quad[/tex]
der [tex]\: b \:[/tex] er et tall
På forhånd takk!
inverse funksjoner
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Sist redigert av Integralen den 04/01-2012 08:29, redigert 1 gang totalt.
Nøkkelen her er nok å bruke reglene
[tex]\cosh(a+b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b[/tex]
[tex]\sinh(a+b) = \cosh a \sinh b + \sinh a \cosh b[/tex]
Disse gir blant annet at
[tex]\cosh(2a) = \cosh(a+a) = \cosh a \cosh a + \sinh a \sinh a = (\cosh a)^2 + (\sinh a)^2 = 2(\cosh a)^2 - 1[/tex]
Dette kan brukes til å finne ut at
[tex]\cosh(2\cosh^{-1} x) = 2(\cosh(\cosh^{-1} x))^2 - 1 = 2x^2 - 1[/tex]
Hvis du fortsetter slik med 3, 4, osv. og ser noe mønster, kan det hende at du kan tippe på en generell formel som så kan vises ved induksjon. Føler imidlertid på meg at det kan bli litt skittent.
[tex]\cosh(a+b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b[/tex]
[tex]\sinh(a+b) = \cosh a \sinh b + \sinh a \cosh b[/tex]
Disse gir blant annet at
[tex]\cosh(2a) = \cosh(a+a) = \cosh a \cosh a + \sinh a \sinh a = (\cosh a)^2 + (\sinh a)^2 = 2(\cosh a)^2 - 1[/tex]
Dette kan brukes til å finne ut at
[tex]\cosh(2\cosh^{-1} x) = 2(\cosh(\cosh^{-1} x))^2 - 1 = 2x^2 - 1[/tex]
Hvis du fortsetter slik med 3, 4, osv. og ser noe mønster, kan det hende at du kan tippe på en generell formel som så kan vises ved induksjon. Føler imidlertid på meg at det kan bli litt skittent.
Bachelor i matematiske fag NTNU - tredje år.