tallteori

[Sverres]

A og B skal kjøpe en gave, begge har et tresifret beløp. Tverrsummen av A multiplisert med 67 er den summen A har. B har 198 kr mindre. B sin tverrsum er motsatt av A sin. Hvordan sette opp denne oppgaven?

[Vektormannen]

Hva mener du med at tverrsummen er motsatt?

[Sverres]

A og B sitt tresiffret beløp består av de samme tallene men i motsatt rekkefølge-

[Vektormannen]

Det du bør gjøre her er å skrive opplysningene som ligninger. Du kan f.eks. kalle sifrene i summen til A for a, b og c. Hvordan vil du da skrive opplysningen om at 67 ganger tverrsummen er lik verdien til summen som en ligning? (Hint: Hvis et tall har sifrene a, b og c (i den rekkefølgen) så har tallet verdi [tex]100a + 10b + c[/tex])

Kan du på samme måte formulere de andre opplysningene? Hvis du får til det så kan du finne en diofantisk ligning som bestemmer to av sifrene og en ligning som gir det siste sifferet.

[Nebuchadnezzar]

Et hvilket som helst tresiffret tall kan skrives som

[tex]100a + 10b + c [/tex]

La oss anta at det over er beløpet til [tex]A[/tex].
Da vet du også utifra opplysningene at

[tex]100a + 10b + c = 67abc[/tex]

[tex]B = 100c + 10b + a - 198[/tex]

[Vektormannen]

Du mener vel 67(a+b+c)

[Nebuchadnezzar]

TverSUM ja, ikke tverprodukt ^^

Code: Select all

clc
for a=0:9
    for b=0:9
        for c=0:9
            A = 100*a + 10*b + c;
            T = 67*(a+b+c);
            if A == T && A~=0 && (100*c + 10*b + a - 198>0)
            B = 100*c + 10*b + a - 198;
            fprintf('Tallet til A er %d og tallet til B er %d \n',A,B);
            end
        end
    end
end

EDIT: Oppgaven har jo tre løsninger da.

[Sverres]

Hvordan løse denne som en diofantisk ligning?
100+ 10 +1 = 67 1+2+3)?

[Vektormannen]

Har du skrevet ligningen riktig? Slik den står nå så er det ingen ukjente?

Som Nebu skrev ovenfor så får du ligningen [tex]100a + 10b + c = 67(a+b+c)[/tex]. Opplysningen om at B er 198 mindre enn A og at B har sifrene i omvendt rekkefølge gir enda en ligning: [tex]100a + 10b + c - 198 = 100c + 10b + a[/tex]. Vi trekker fra 10b, a og 100c og legger til 198 på begge sider (eller flytter over om du vil) og får [tex]99a - 99c = 198[/tex] som gir at [tex]c = a - 2[/tex]. Så vi vet at i tallet A så må bakerste siffer være to mindre enn det første.

Setter vi dette inn i den første ligningen får vi: [tex]100a + 10b + a - 2 = 67(a + b + a - 2)[/tex]. Rydder vi opp i den får vi [tex]33a + 57b = 132[/tex]. Dette er en diofantisk ligning som du kan løse.

Nebu: Jeg tror vi har tolket oppgaven forskjellig. Du skriver at B = 100c + 10b + a - 198, men det står jo at B er 198 mindre enn A (ikke at B er 198kr mindre enn det omvendte tallet av A.) Jeg får bare én løsning slik jeg regner det ut.