x[sub]n+2[/sub]+x[sub]n+1[/sub]-12x[sub]n[/sub]+3[sup]x[/sup]=0 ;n≥0
Initialbetingelser;
x[sub]0[/sub]=-7
x[sub]1[/sub]=-1/7
Sliter max med denne, noen som kan hjelpe?
Rekursjons affære
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Guest
Metode 1: Finn først den generelle løysninga på det homogene uttrykket. Finn så ei vilkårleg løysning på det heterogene uttrykket. Kombiner løysningane til den generelle løysninga på det heterogene uttrykket. Bestem deretter konstantane slik at initialverdiane stemmer.
Homogen: Karakteristisk likning r^2 + r - 12 = 0 = (r + 4)(r - 3). Generell løysning er altså: y_n = C*(-4)^n + D*3^n.
Heterogen: Tipp z_n = An * 3^n (eg tippa først A*3^n, men denne gjekk ikkje). Me får 3^n * (9An + 18A + 3An + 3A - 12An + 1) = 3^n * (21A + 1) = 0, dvs. A = -1/21.
Dette gjev x_n = y_n + z_n = C*(-4)^n + D*3^n - n/21 * 3^n.
x_0 = C + D = -7
x_1 = -4C - 4D + 7D - 1/7 = -28 + 7D - 1/7 = -1/7
Me får D = 4 og vidare C = -11. Altså x_n = (4 - n/21)*3^n - 11*(-4)^n.
Metode 2: La G(y) = [sigma][/sigma] x_i * y^i = x_0 + x_1 * y + x_2 * y^2 + ... vera den genererande funksjonen til følgja.
G(y) = x_0 + x_1 * y + x_2 * y^2 + x_3 * y^3 + ...
yG(y) = x_0 * y + x_1 * y^2 + x_2 * y^3 + ...
y^2G(y) = x_0 * y^2 + x_3 * y^3 + ...
1/(3y - 1) = 1 + 3 * y + 3^2 * y^2 + 3^3 * y^3 + ...
Rekursjonsformelen fortel at G(y) + yG(y) - 12y^2G(y) + 1/(3y - 1) har 0 som n-tegradsledd for n > 1. Me får i det heile
G(y) + yG(y) - 12y^2G(y) + 1/(3y - 1) = x_0 + 1 + (x_1 + x_0 + 3)y = -6 - 29y/7.
Litt omstokking gjev G(y) = [29y/7 + 6 + 1/(3y - 1)]/(12y^2 - y - 1). Oppgåva vert no å føra G(y) tilbake til ei formell potensrekkje. Dette gjerast ved at me deler høgresida opp i passande biter. Merk for dette at at 12y^2 - y - 1 = 12(y + 1/4)(y - 1/3).
G(y) = [3ay^2 - ay + 18y - 6 + 1]/[3 * (y - 1/3)^2 * (y + 1/4)], a = 29/7.
G(y) = (Ay + B)/(y - 1/3)^2) + C/(y + 1/4). Me må finna konstantane A, B og C. Etter dette bør me forenkla det første uttrykket på høgresida ytterlegare. Det andre uttrykket kan observerast som C(1 + (-4)x + (-4)^2x^2 + ...), dvs. at x_n = C*(-4)^n + ??, der ?? svarer til eit eller anna me får ut av uttrykket på høgresida, mest truleg ein eller annan (En + F)*3^n. Du kan no anten (etter å ha sjekka trinna eg har gjort; eg trur det er meir sannsynleg at feil har snike seg inn enn det omvendte) gjennomføra jakta på eit enkelt uttrykk for G(y) eller bruka det som er funne til å finna dei passande C, E og F.
Homogen: Karakteristisk likning r^2 + r - 12 = 0 = (r + 4)(r - 3). Generell løysning er altså: y_n = C*(-4)^n + D*3^n.
Heterogen: Tipp z_n = An * 3^n (eg tippa først A*3^n, men denne gjekk ikkje). Me får 3^n * (9An + 18A + 3An + 3A - 12An + 1) = 3^n * (21A + 1) = 0, dvs. A = -1/21.
Dette gjev x_n = y_n + z_n = C*(-4)^n + D*3^n - n/21 * 3^n.
x_0 = C + D = -7
x_1 = -4C - 4D + 7D - 1/7 = -28 + 7D - 1/7 = -1/7
Me får D = 4 og vidare C = -11. Altså x_n = (4 - n/21)*3^n - 11*(-4)^n.
Metode 2: La G(y) = [sigma][/sigma] x_i * y^i = x_0 + x_1 * y + x_2 * y^2 + ... vera den genererande funksjonen til følgja.
G(y) = x_0 + x_1 * y + x_2 * y^2 + x_3 * y^3 + ...
yG(y) = x_0 * y + x_1 * y^2 + x_2 * y^3 + ...
y^2G(y) = x_0 * y^2 + x_3 * y^3 + ...
1/(3y - 1) = 1 + 3 * y + 3^2 * y^2 + 3^3 * y^3 + ...
Rekursjonsformelen fortel at G(y) + yG(y) - 12y^2G(y) + 1/(3y - 1) har 0 som n-tegradsledd for n > 1. Me får i det heile
G(y) + yG(y) - 12y^2G(y) + 1/(3y - 1) = x_0 + 1 + (x_1 + x_0 + 3)y = -6 - 29y/7.
Litt omstokking gjev G(y) = [29y/7 + 6 + 1/(3y - 1)]/(12y^2 - y - 1). Oppgåva vert no å føra G(y) tilbake til ei formell potensrekkje. Dette gjerast ved at me deler høgresida opp i passande biter. Merk for dette at at 12y^2 - y - 1 = 12(y + 1/4)(y - 1/3).
G(y) = [3ay^2 - ay + 18y - 6 + 1]/[3 * (y - 1/3)^2 * (y + 1/4)], a = 29/7.
G(y) = (Ay + B)/(y - 1/3)^2) + C/(y + 1/4). Me må finna konstantane A, B og C. Etter dette bør me forenkla det første uttrykket på høgresida ytterlegare. Det andre uttrykket kan observerast som C(1 + (-4)x + (-4)^2x^2 + ...), dvs. at x_n = C*(-4)^n + ??, der ?? svarer til eit eller anna me får ut av uttrykket på høgresida, mest truleg ein eller annan (En + F)*3^n. Du kan no anten (etter å ha sjekka trinna eg har gjort; eg trur det er meir sannsynleg at feil har snike seg inn enn det omvendte) gjennomføra jakta på eit enkelt uttrykk for G(y) eller bruka det som er funne til å finna dei passande C, E og F.
-
Gjest
Mange takk for ett utførlig svar.
Jeg kjenner ikke metode nr2 men det så interessant ut.
Læreboken oppgir en algoritme for den heterogene løsningen av ett potensuttrykk med å prøve t[sub]n[/sub]=Ar[sup]n[/sup]
Jeg fikk inntrykk av at dette skulle fungere hver gang, får begynne å gjette litt jeg også....
Jeg kjenner ikke metode nr2 men det så interessant ut.
Læreboken oppgir en algoritme for den heterogene løsningen av ett potensuttrykk med å prøve t[sub]n[/sub]=Ar[sup]n[/sup]
Jeg fikk inntrykk av at dette skulle fungere hver gang, får begynne å gjette litt jeg også....
-
Guest
For eit uttrykk på forma p(n) * a^n, p(n) eit polynom, så skal du prøva deg med eit uttrykk på forma q(n) * a^n, q(n) eit polynom. Som oftast bør du prøva eit polynom med same grad som p(n), men i enkelte tilfelle, sånn som dette, så må du prøva med ein høgare grad. Grunnen i dette tilfellet var at
a = 3 også var ei rot i det karakteristiske polynomet.
a = 3 også var ei rot i det karakteristiske polynomet.