Sinussetningen

[malef]

I [tex]\triangle PQR[/tex] er [tex]\angle Q=60^\circ[/tex], [tex]QR=4[/tex] og [tex]PR=a[/tex].
For hvilke verdier av [tex]a[/tex] er det 0, 1 og 2 trekanter som svarer til beskrivelsen?

Ser ikke hvordan jeg skal starte på denne oppgaven. Supert hvis noen kan hjelpe meg i gang

[Vektormannen]

Her er nøkkelen å se på motstående vinkel til siden med lengde 4. Kan du finne et uttrykk for sinus til denne vinkelen som kun avhenger av [tex]a[/tex] ved hjelp av sinussetningen?

[malef]

Takk for svar!

Mener du slik?

[tex]\frac{a}{\sin60^\circ}=\frac{4}{\sin P} \ \Rightarrow \sin P=\frac{4\sin60^\circ}{a}[/tex]

[Vektormannen]

Akkurat! Nå kan du forenkle litt hvis du benytter at [tex]\sin 60^\circ = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex] (hvis du ikke er kjent med denne eksaktverdien så kan du finne den ved å dele en likesidet trekant i to rettvinklede trekanter.)

Ser du hvordan du kan finne a-verdiene de spør etter nå? (Tenk over hvilke verdier sinus kan ha)

[malef]

Nå falt jeg nok litt av lasset Antar at [tex]\frac{\sqrt3}{2}[/tex] uttrykker at det er kvadratet av de tre like sidene som deles på to. Da blir tallet uttrykk for arealet av en av de rettvinklede trekantene? Spør vel dumt nå, men dette er nytt for meg ...

Nå har vi altså en rettvinklet trekant med vinkler på [tex]90^\circ, 60^\circ[/tex] og [tex]30^\circ.[/tex] Hypotenusen er 4, så da blir korteste katet halvparten, altså 2. Med pytagoras kan jeg da si at den lengste kateten (a) blir 3,4641. Det er altså en løsning. Er a kortere, har vi ingen trekant.

Da har vi altså én når a=4, ingen løsning når a<3,4641 og to løsninger når 34641<a<4

Dette har jeg nærmest visualisert meg frem til. Klarer ikke helt å se hvordan jeg kan bruke [tex]\sin P[/tex].

[Vektormannen]

Jeg ser ikke helt hvorfor du mener at trekanten må være rettvinklet? Jeg håper ikke jeg forvirret deg nå. Det jeg mente med den likesidede trekanten var at man kan bruke en likesidet trekant (med f.eks. sidelengde 2) til å finne et uttrykk for sin 60. Det har ikke noe mer enn det med oppgaven din å gjøre.

Du har nå funnet at [tex]\sin P = \frac{4 \sin 60^\circ}{a} = \frac{4 \frac{\sqrt 3}{2}}{a} = \frac{2\sqrt 3}{a}[/tex].

Kan sin P bli større enn 1? Hvor mange vinkler har akkurat sinusverdien 1?

[malef]

Tror det begynner å demre litt nå

[tex]\sin P = \frac{4 \sin 60^\circ}{a} = \frac{4 \frac{\sqrt 3}{2}}{a} = \frac{2\sqrt 3}{a} = \frac{2\sqrt 3}{2\sqrt 3}=1 \\ a=2\sqrt 3[/tex]

[tex]\sin P[/tex] kan ikke bli større enn 1, siden [tex]\sin1=90^\circ[/tex].

Om vi deler på 4 i stedet for på [tex]\sin60^\circ[/tex], får vi:

[tex]\sin P=\frac{4\sin60^\circ}{4} = \sin60^\circ[/tex]

Da har vi en likesidet trekant der a=4. Det betyr at det ikke finnes andre trekanter der a=4.

Mellom ytterpunktene [tex]a=4[/tex] og [tex]a=2\sqrt3[/tex] har vi to løsninger.

Har jeg skjønt det?

[Vektormannen]

Det ser ut som du er på riktig vei med dette ja

For hvilke [tex]a[/tex] er det ingen løsninger da?

For hvilke [tex]a[/tex] er det bare én løsning? Er det kun for [tex]a = 2\sqrt 3[/tex] og [tex]a = 4[/tex]?

[malef]

Det er ingen løsning når [tex]a<2\sqrt3[/tex], siden sinusverdien da blir større enn 1.

Jeg kan ikke skjønne annet enn at det bare er a=4 og a=2[symbol:rot]3 som gir én løsning. a=4 fordi trekanten da blir likesidet og a=2[symbol:rot]3 fordi sinusverdien da blir 1?

[Vektormannen]

Det er helt riktig det. Men hva skjer når a > 4 da?

[malef]

Det tenkte jeg ikke på! Ved å prøve meg frem ser jeg at vi også da får bare én løsning, siden P blir mindre enn 60 grader. Om P blir 59,9 grader, kan vi også tenke oss at den kunne vært 120,1. Men siden vi allerede har en vinkel på 60 grader, får vi da 180-60-120,1=-0,1. Det går altså ikke.

Eller kan dette forklares på en bedre måte?

[Vektormannen]

Det er helt riktig tenkt det. Hver gang en vinkel [tex]P_1[/tex] er en løsning av ligningen [tex]\sin P = k[/tex] så er også [tex]P_2 = 180^\circ - P_1[/tex] en løsning. Men som du sier så må ikke vinkelsummen i trekanten gå over 180 grader. Med andre ord må ikke [tex]P_2 > 120^\circ \ \Rightarrow \ P_1 < 60^\circ[/tex] (eller med andre ord [tex]\sin P_1 < \frac{\sqrt 3}{2} \ \Leftrightarrow \ a > 4[/tex].)

[malef]

Nå tror jeg at jeg skjønner litt mer av dette Litt treninng nå så håper jeg det sitter. Tusen takk for fantastisk hjelp!