Hjelp med derivata!

[Tom Øistein]

Vis med hjelp av derivatans defintion, derivatan til funktionen f(x)= [symbol:rot]x

[Aleks855]

Er "derivata" svensk for "derivert"?

I så fall, så begynner man slik:

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

[Tom Øistein]

Det stemmer, derivata er svensk for "derivert".

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$ = $\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\sqrt{(x+h)}}^2-{\sqrt{(x)}}^2}{h}$=$\underset{h\to 0}{lim}\frac{x+h-x}{h}$

X ene tar ut hverandre og da står jeg igjen med h over h.$h\to 0$ så svaret blir 0?

[tosha0007]

Nei, svaret er ikke 0. Du kan ikke bare kvadrere der du synes det passer og håpe at likheten holder $\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\ne \underset{h\to 0}{lim}\frac{{\sqrt{x+h}}^2-{\sqrt{x}}^2}{h}$

En smart måte å finne en finere brøk kan være å gange med den konjugerte til telleren.

edit: Legg merke til at $\underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{h}=\underset{h\to 0}{lim}1=1\ne 0$

[Tom Øistein]

Okei, skal jeg gange med konjugatet over eller under brøkstreken?

[tosha0007]

Begge deler, altså gang med $\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$.

[Tom Øistein]

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}(x-h)-\sqrt{x}(x-h)}{h}$=

$\frac{x^2+xh-xh-h-x^2+xh}{h}$ = $\frac{x-h+xh}{h}$ $\underset{h\to 0}{lim}=x+x=2x$

[Tom Øistein]

Begge deler, altså gang med $\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$.

du mener vel $\frac{\sqrt{x-h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x-h}+\sqrt{x}}$?.

[tosha0007]

Nei, men jeg innser at ordet konjugert lett kan feiltolkes (kom ikke på et bedre ord i farten). Ideen bak trikset med å gange med 1 (på en tungvint måte) er for å kunne bruke konjugatsetningen (3. kvadratsetning) til å forenkle uttrykket.

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h)+\sqrt{x}\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\sqrt{x+h}-(\sqrt{x}{)}^2}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x+h-x}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

[Tom Øistein]

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(x+h)+\sqrt{x}\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\sqrt{x+h}-(\sqrt{x}{)}^2}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x+h-x}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Jeg forstår ikke hvordan det kan bli 1 over brøkstreken x+h-x burde vel bli h alene og h går jo mot null. Så hvordan blir det 1 over brøkstreken?

[tosha0007]

h i teller og nevner vil kansellere hverandre:

$\frac{x+h-x}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$