Trenger hjelp

[rembrandt]

Hei,

det er samme type spm som jeg sliter med og her kommer et nytt spm:

En matematikkklasse får delt ut 15 brune skinnposer. 7 av dem inneholder avispapirer, mens 8 inneholder tusenlapper.

Vi velger ut 3 skinnposer og skal finne ut sannsynlighet for at:

1. to av posene har tusenlapper
2. minst to av posene har tusenlapper


Jeg har brukt lang tid på dette men kommer ikke fram til noen løsning.

[Nebuchadnezzar]

Lær. Deg. Å. Tegne. Tre-Diagram.



Første gang du trekker en fra posen kan du enten få penger (P) eller avispapir(A)

Sannsynligheten for at du får P første gangen er 8/15. Siden det er 15 poser, og du ønsker en av de 8 med penger i.

På samme måte blir P(A) = 7/15. Siden det er 15 poser og 7 med papir.

Hva er så sannsynligheten for å trekke først P også A?
Jo

[tex]P(P \cap A) = \frac{7}{15} \cdot \frac{7}{14}[/tex]

Grunnen til dette er enkelt. Etter du har trukket en pose med penger, så er det 14 poser igjen, hvorav 7 er med avispapir i.

Dersom du er smart...
Kan du legge merke til at

[tex]P(P \cap A \cap P) = P(A \cap P \cap P) = P(P \cap P \cap A)[/tex]

Rekkefølgen vi trekker posene i, spiller ingen rolle. Det er like sannsynlig å trekke to pengeposer også en papirpose, som å trekke en papirpose også to pengeposer.

Første gang vi trekker har vi to mulige utfall. P og A. Neste gang vi trekker har vi også P og A. og siste gang har vi også P og A. Dette gir oss

[tex]2 * 2 *2 = 8[/tex] mulige utfall (som du også ser når du tegner.)

Vi ønsker å finne ut sannsynligheten for å trekke to poser med penger og en med papir.

[tex]P(P \cap A \cap P) = P(A \cap P \cap P) = P(P \cap P \cap A)[/tex]

Altså blir sannsynligheten for å trekke to pengeposer og en papirpose.

[tex]P(P \cap A \cap P) = P(P \cap A \cap P) + P(A \cap P \cap P) + \P(P \cap P \cap A)[/tex]

Kan dette regnes ut lettere? Selvfølgelig!

Vi kan si at vi har 3 poser, av disse vil vi velge ut to pengeposer.(Siden det bare er to mulige utfall må den siste posen være papir. )

Dette kan bli gjort på

[tex]3C2 = {{3}\choose{2}} = 3[/tex] måter (Samme som vi kom fremt til med trediagrammet!)

Så sannsynligheten for to pengeposer og en papirpose er gitt som

[tex]P(P \cup A \cup P) = {{3}\choose{2}} \cdot \frac{28}{195}[/tex]

Her er [tex]P(P \cap A \cap P) = P(A \cap P \cap P) = P(P \cap P \cap A) = \frac{28}{195}[/tex].

Mye lettere blir bare å stille det opp som en hypergeometrisk fordeling som vist under.

[tex]P(P \cup A \cup P) = \frac{{8 \choose 2} {7 \choose 1}}{15 \choose 3}[/tex]

Som i bunn og grunn er ønskelige utfall, delt på mulige utfall. Som er akkuratt det samme som vi har gjort med diagrammet vårt. For å forstå den nederste formelen, må du forstå hvordan en setter ogpp og lager et trediagram. Tegn sannsynligheter!