Areal under polarkoordinater

[Nova]

Hei! Jeg trenger litt hjelp med noen oppgaver i dag og

Find the area of the region inside one loop the lemniskate [tex]r^2 = 4sin(2\theta)[/tex].
Her er det jeg har prøvd meg på:

[tex]A = \int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}*4sin(2\theta) d\theta = \int_{0}^{\pi}2sin(2\theta) d\theta = [-cos(2\theta)]_{0}^{\pi} = -cos(2\pi)+cos(0) = -1+1 = 0[/tex]

Men det er jo selvsagt ikke riktig.. Mest sannsynlig har jeg satt opp hele uttrykket riktig. Formelen er jo
[tex]A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2}*r^2 d\theta[/tex],
og jeg er veldig usikker på om jeg bare kan sette [tex]r^2[/tex] rett inn? Eller må det bli [tex]r^4[/tex]?

[Nova]

Og dette er vel et enkelt trigonometrisk problem men likevel:

Finn arealet innenfor sirkelen [tex]r = -2cos(\theta)[/tex] og utenfor sirkelen [tex]r = 1[/tex]

Finner skjæringspunkt:
[tex]-2cos(\theta) = 1[/tex]
[tex]cos(\theta) = -\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{3\pi}{2}[/tex]

Men i figuren jeg har tegnet opp så møtes ikke sirklene i dette punktet i det hele tatt?

[Nebuchadnezzar]

I den første oppgaven har du tenkt riktig, men du burde se over den øverste grensen din =) Jeg får at den burde bli litt mindre. Siden du får null, kan du tenke deg at du integrerer over hele figuren.



Figuren for den andre oppgaven.

[Nova]

Tenker du at den øvre grensen burde være pi/2? Figuren er vel symmetrisk om origo i et slags åttetall, og siden den ikke har noe areal fra pi halve til pi så hvorfor er det et problem å integrere over hele grensen?

Jeg fikk også den figuren.. Derfor jeg mente at 3pi/2 var en dårlig ide Hmm men når jeg tenker litt geometrisk her og ikke bare trykker inn på kalkulator så ser jeg jo at må bli pi [symbol:plussminus] pi/3..

[Nebuchadnezzar]

Litt av problemet her er at dersom du integrerer over et området som ligger under x-aksen så blir dette negativt. pi/2 blir riktig ja, og da får du arealet av ett blad og ikke to. (Det var vel 1 du skulle ha?)

Og videre så hjelper det dessverre lite og trykke inn trigonometriske likninger på en kalkulator for å få alle svarene.

Du har sikkert sett bilder av både cosinus og sinus funksjoner, alle disse er periodiske funksjoner og har et uendelig antall løsninger.

Tenker vi geometrisk så har de alltid to løsninger per omløp omkring enhetssirkelen (tegn).

Så en kan si at løsningene til

[tex]\sin(x) = k[/tex] er gitt som

[tex]x = \arcsin(k) + 2\pi n \quad \text{og} \quad x =\pi - \arcsin(k) + 2\pi n [/tex]

Der n er et naturlig tall.

[Nova]

Men grensen pi halve til pi ligger vel over x-aksen? og det er jo ikke noe areal der, så det burde utgjøre 0 uansett?

Og oops ja, jeg innser at jeg hadde et hjernedødt øyeblikk på cosinusfunksjonen der, skal ikke gjenta seg Noen må ha det inn med teskje..