Bevis bestemte integral

[Kork]

Hei, jeg bevegde meg med jevn fart gjennom kapitlet om integrering til jeg møtte en bratt motbakke og begynte å rulle bakover.

Jeg mistenker at jeg ikke forstår helt hva som skal bevises, så om noen vil forsøke å forklare meg hva de er vi beviser her vil jeg være veldig takknemlig.


Klikk for større bilde.

[Nebuchadnezzar]

Dette var jo mildt sagt forferdelig! Forferdelig måte å forklare kanskje det mest fundamentale beviset innen kalkulus.

Det de ønsker å bevise er at den antideriverte av en funksjon, beskriver arealet under kurven.

Gir et bedre bevis for det under jeg. Fremgangsmåten er den samme, men jeg tr det litt nøyere og forklarer litt bedre (kanskje )

[Nebuchadnezzar]

Lemma 1:

Anta at [tex] F^{\prime}(x) = f(x) [/tex] da vil også
[tex]\left( F(x) + C\right)^{}\prime = f(x) [/tex] der [tex]C[/tex] er en vilkårlig konstant.

Det vi sier her er at om for for eksempel [tex]F(x) = 5x[/tex] , da er [tex]F^{\prime}(x) = f(x) = 5[/tex] men også [tex]F(x) = 5x +3[/tex] , så er [tex]F^{\prime}(x) = f(x) = 5[/tex]

En følge av dette er at dersom [tex]F^{\prime}(x)=f(x)[/tex] så er [tex]\int f(x) \, \text{d}x = F(x) + C [/tex]

Der den litt pussige S tegnet ikke har noe som helst med areal å gjøre! (foreløpig) men betegner kun den antideriverte.

----------------------------------------------

Nå begynner vi å titte på figuren vår. La oss anta at det finnes en funksjon [tex]A(x)[/tex]
som beskriver arealet under funksjonen [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]x[/tex]. Eksempelvis så vil [tex]A(b)[/tex] representere det røde arealet eller området på figuren.

Nå utvider vi området litt, og beveger oss en liten avstand fra b mot høyre som vi kaller for h.
Arealet av dette blå området blir dermed

[tex]\blue \text{bl{\aa}}[/tex][tex] = A(b+h) - A(b) [/tex]

Men utifra figuren, så ser vi at dette området her, ligger mellom de to rektanglene.

Arealet av det minste rektanglet blir [tex]h \cdot f(b)[/tex] og arealet av det største rektanglet blir [tex]h \cdot f(b+h)[/tex]

Nå vet vi ikke hvor dette blå arealet befinner seg, men det er ett eller annet sted mellom disse to rektanglene. Dette kan vi skrive som en fin dobbel ulikhet.

[tex]h \cdot f(b) \ \leq \ A(x+h) - A(h) \ \leq \ h \cdot f(b+h)[/tex]

Må vet vi at [tex]h>0[/tex], og vi kan fint dele på h gjennom hele ulikheten.

[tex] f(b) \ \leq \ \frac{A(x+h) - A(h)}{h} \ \leq \ f(b+h)[/tex]

Nå lar vi h nærme seg null (Vi kan ikke la den bli null, men vi kan la den bli veldig veldig nærme). Dette kan bli sett på som å se på grenseverdien

[tex]\lim_{h \to 0}[/tex]

Ved innsetning får vi

[tex]\lim_{h \to 0} f(b) \ \leq \ \lim_{h \to 0} \frac{A(b+h) - A(h)}{h} \ \leq \ \lim_{h \to 0} f(b+h)[/tex]

[tex] f(b) \ \leq \ \lim_{h \to 0} \frac{A(b+h) - A(h)}{h} \ \leq \ f(b)[/tex]

Nå utifra definisjonen av den deriverte vet vi at

[tex]A^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{A(b+h) - A(h)}{h}[/tex]

Og bare for å gjøre det klinkende klart, det vi nå har vist er at

[tex] f(b) \ \leq \ A^{\prime}(b) \ \leq \ f(b)[/tex] Som betyr at [tex]A^{\prime}(b) = f(b) [/tex]

Som betyr at [tex]A(x)[/tex] er en antiderivert av [tex]f(x)[/tex] !!! <-- KJEMPEVIKTIG

Siden [tex]A^{\prime}(x)=f(x)[/tex] så er [tex]A(x) = F(x)[/tex] der [tex]F^{\prime}(x) = f(x)[/tex]

Det vi nå har funnet ut. Er at arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]b[/tex] kan bli skrevet som

[tex]A(b) = F(b) + C[/tex]

Der C er en eller annen konstant, denne kommer ifra lemmaet. Nå trenger vi bare å besteme denne konstanten. Dette kan vi gjøre ved å velge [tex]b=a[/tex]. Husk at [tex]A(x)[/tex] er arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]x[/tex]. Setter vi [tex]x=a[/tex], må nødvendigvis dette området være null. Da får vi

[tex]A(a) = F(a) + C[/tex]
[tex]0 = F(a) + C \Rightarrow C = - F(a)[/tex]

Slik at vi får at arealet under[tex] f(x)[/tex] er gitt som

[tex]A(b) = F(b) - F(a)[/tex]

En mer normal måte å skrive dette på er

[tex]\in_{a}^{b} f(x) \, \text{d}x = F(b) - F(a)[/tex]

Altså, arealet under [tex]f(x)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]b[/tex], er det samme som den antideriverte av F evaluert i [tex]b[/tex] minus [tex]F[/tex] evaluert i [tex]a[/tex].

[Vektormannen]

Dette forumet skulle hatt en "Liker"-knapp!

[svinepels]

Er nok et relativt grovkornet argument dette, men holder i massevis om man kun er ute etter å forstå det intuitive bak analysens fundamentalteorem;)

[Vektormannen]

Det er nok mer enn finkornet nok for VGS. Noen bøker hopper såvidt jeg husker galant over hele beviset

[Nebuchadnezzar]

Orker ikke ta det klassiske argumentet, fordi dette hadde nok godt over hodet på kork. (Og de fleste andre)

Og "beviset" her er nokså grovkornet ja, noen detaljer som burde pusses på. Men det får bli en annen gang. =)

[Kork]

Tusen takk! Det er fremdeles mange løse tråder i skolten ang. beviset men dette var til stor hjelp. Jeg tenker jeg gjør ferdig kapitlet og så tar en titt tilbake her.