Funksjonsdrøfting

[malef]

Funksjonen [tex]f[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=2x^3+ax^2-4x-2[/tex]

Bestem konstanten a når [tex]f[/tex] har bunnpunkt i [tex](2,f(2))[/tex]

Her ser jeg rett og slett ikke hvordan jeg skal starte. Har derivert funksjonen, men så er det slutt. Fint om noen kan hjelpe meg i gang

[Aleks855]

Du vet at bunnpunktet har x-verdi 2.

Du vet også at den deriverte i x=2 er null.

f'(x) = 0 når x=2

[tex]6x^2 + 2ax - 4 = 0[/tex]

Ser du hva du kan gjøre nå?

[malef]

Ser du hva du kan gjøre nå?

Nei, dessverre har det ikke gått opp noe lys for meg. B

Edit: feil nullpunkt

[Vektormannen]

Som Aleks sier ovenfor her, du vet at i bunnpunktet er den deriverte 0. Altså vet du at f'(2) = 0. Hva blir f'(2)?

[malef]

Nå håper jeg det har begynt å demre her f'(2) får jeg til å bli 4a+20.

Hvis jeg nå setter f'(2) lik null, får jeg

4a+20=0
4a=-20
a=-5

[Vektormannen]

Det er jo helt korrekt det!

Hvis du tegner grafen vil du se at funksjonen får et bunnpunkt nøyaktig i x = 2. (Hvorfor blir det et bunnpunkt og ikke et topp-punkt?)

[malef]

Nei, se det spørsmålet var ikke så lett som det kunne se ut

Nå har jeg faktorisert f'(x) og fått 6(x+0,33)(x-2)

Når jeg setter opp fortegnslinjer for faktorene, ser jeg at at grafen synker før x=2 og stiger etter x=2, altså må det være et bunnpunkt (siden tredjegradspolynomer har maks. to ekstremalpunkter).

Men jeg har en følelse av at man kan komme frem til svaret på en annen måte?

[Vektormannen]

Det er et helt flott resonnement det. Virker som du har kontroll på derivasjon og hva den deriverte gir informasjon om.

En kanskje kjappere metode her kunne være å bare teste noen verdier for x på hver side av x = 2. Vi vet jo at en andregradsfunksjon har maksimalt to nullpunkt, og at den bytter fortegn etter hvert av disse. Så hvis vi prøver x = 1 og x = 3 så ser vi at f'(1) = 6 - 10 - 4 = -8 < 0 og f'(3) = 54 - 30 - 4 = 20 > 0. Siden den deriverte er negativ (f(x) synker) for x = 1 og positiv (f(x) styiger) for x = 3 er det altså et bunnpunkt. Det man må være forsiktig med når man benytter denne ekstremalpunkttesten er at man ikke risikerer at den deriverte har et nullpunkt og bytter fortegn i mellom x = 1 og x = 2 eller x = 2 og x = 3. Siden vi har med et andregradspolynom her så vet vi at det ikke er tilfellet. Hadde det vært det, ville vi ikke sett forskjellige fortegn for x = 1 og x = 3.

En annen metode (som kanskje ikke er pensum i 1T?) er å se på den dobbeltderiverte. Det vil si den deriverte av den deriverte. Den dobbeltderiverte vil si noe om hvordan den deriverte stiger og synker. Hvis den dobbeltderiverte er positiv så vet vi at den deriverte er i ferd med å bli større og større. Det betyr at f(x) "bøye seg" oppover og stige brattere og brattere. Dersom den dobbeltderiverte er negativ så gjelder det motsatte. Da avtar den deriverte mer og mer. Det betyr at funksjonen vil krumme nedover. Ved å se på hvordan funksjonen bøyer seg / krummer så kan vi også avgjøre hvilken type ekstremalpunkt vi har med å gjøre. Dersom grafen krummer oppover (den dobbeltderiverte er positiv) så har vi et bunnpunkt. Dersom grafen krummer nedover (den dobbeltderiverte er negativ) så har vi et topp-punkt. Her har vi følgende:

[tex]f^{\prime \prime}(x) = (f^{\prime}(x))^\prime = 12x - 10[/tex]

I punktet x = 2 har vi at [tex]f^{\prime \prime}(2) = 12 \cdot 2 - 10 = 14 > 0[/tex]. Den dobbeltderiverte er positiv i x = 2, altså krummer grafen oppover, og ekstremalpunktet i x = 2 må være et bunnpunkt.

[malef]

Skal merke meg trikset med å teste verdier på hver side av punktet på x-aksen. Informasjonen man er ute etter når man tegner fortegnsskjema, er jo hvor grafen er negativ/positiv, og her får man jo vite nettopp det.

Dobbeltderivasjon behandles dessverre ikke i 1T. Har bladd litt i R1-boka (som jeg kjøpte i går ), og ser at det blir tatt opp der. Gleder meg i det hele tatt til å ta fatt på den boken

Takk for hjelpen begge to!