Diff.likning med svært vanskelig integral

[krje1980]

Hei.

Står litt fast på følgende oppgave:

Find the equilibrium points of the system [tex]x^{\prime \prime} + x - x^2 = 0[/tex], and the general equation of the phase paths. Find the elapsed time between the points [tex](- \frac{1}{2}, 0)[/tex] and [tex](0, \frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]

(Merk at i denne oppgaven deriverer vi [tex]y[/tex] med tanke på [tex]t[/tex], hvor [tex]t[/tex] er tid)


Første del av oppgaven er ganske grei. Jeg definerer:

[tex]x^\prime = y[/tex]

[tex]y^\prime = x^2 - x = x(x-1)[/tex]

Av dette ser vi ganske enkelt at ekvilibriumpunktene er [tex](0,0)[/tex] og [tex](1,0)[/tex].

For å finne den generelle likningen for fasene tar jeg:

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - x}{y}[/tex]

Dette kan løses ganske enkelt som en separabel likning. Jeg får da:

[tex]y^2 = \frac{2}{3}x^3 - x^2 + C[/tex]

Jeg regner så med at ettersom jeg vet at vi her skal regne avstanden fra [tex]t_0[/tex] som inntreffer i punktet [tex](-\frac{1}{2}, 0)[/tex] kan jeg ta utgangspunkt i dette punktet for å finne verdien for [tex]C[/tex]. Jeg tar altså:

[tex]0 = \frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^3 - (-\frac{1}{2})^2 + C[/tex]

Løser og får at [tex]C = \frac{1}{3}[/tex].

Nå kommer imidlertid problemet. For å finne tiden brukt tar jeg utgangspunkt i at ettersom vi her beveger oss på [tex]y \geq 0[/tex] i faseplanet, så tar vi den positive kvadratroten:

[tex]y = \sqrt{\frac{2}{3}x^3 - x^2 + \frac{1}{3}}[/tex]

Bruker så integralformelen for å finne avstanden:

[tex]\int_{-\frac{1}{2}}^0 \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{3}x^3 - x^2 + \frac{1}{3}}[/tex]

Men her står jeg helt fast. Hvordan i all verden løser jeg dette integralet? Og har jeg gjort rett frem til dette punktet? Setter stor pris på hjelp!

PS: Fasiten sier forøvrig at svaret her skal være [tex]2tanh^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Du har regnet riktig, gi meg et par minutter så skal jeg se om jeg kommer frem til noe lurt.

prøv og set 1 + x = t

Men som sagt kommer med svar om ei lita stund

[Janhaa]

hvis du deriverer fasitsvaret- så fås:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 3%29%29%27

ganske ulikt din integrand...

[krje1980]

hvis du deriverer fasitsvaret- så fås:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 3%29%29%27

ganske ulikt din integrand...

Ja, jeg er ikke 100 % sikker på om resonneringen min før integralet er korrekt (selv om jeg tror det). Fint om noen kan se på dette også.

[krje1980]

Janhaa: Husk at vi her har et bestemt integral. Svaret er ikke nødvendigvis uttrykket vi får når vi integrerer, men den endelige tallverdien vi ender opp med.

[Nebuchadnezzar]

Er det ingen som hører på meg? Føler meg såret. Integralet du kommer frem til er uansett 100% rett i forhold til fasit. Begynner å skrive ned løsninga nå jeg.

u = x - 1 stemte i det minste som første substitusjon

LØSNING: Er en del raske overganger, fordi jeg er lat. Men du burde fint se overgangen om du regner på det.

[tex]I = \int_{-1/2}^{0} \frac{\text{d}x}{\sqrt{\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 1/3}}[/tex]

Vi faktoriserer ut 1/3 fra nevneren

[tex]I = \sqrt{3} \int_{-1/2}^{0} \frac{\text{d}x}{\sqrt{6x^3 -9x^2 + 3}} \,[/tex]

Vi legger merke til at [tex]6x^3 -9x^2 + 3=3(2x+1)(x-1)^2[/tex]
Så dermed prøver vi å velge [tex]u=x-1[/tex] vi kunne også valgt [tex]u=2x+1[/tex]

[tex]I = \sqrt{3} \int_{-3/2}^{-1} \frac{\text{d}u}{\sqrt{2u+3}\cdot \sqrt{u^2}} \,[/tex]

[tex]I = -\sqrt{3} \int_{-3/2}^{-1} \frac{\text{d}u}{\sqrt{2u+3}\cdot u} \,[/tex]

Roten av u blir negativ, siden funksjonen er negativ på -3/2 til -1
Neste substitusjon blir (åpenbart?) [tex]t^2 = 2u + 3[/tex]

[tex]I = 2\sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{\text{d}t}{3 - t^2} \,[/tex]

Herfra kan vi enten bruke en den hyperbolske tangensfunksjonen ved å sette [tex]y=\sqrt{3}tanh(t)[/tex] som i fasit, eller vi kan bruke delbrøkoppspalting. Sistnevnte gir

[tex]I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{3} - t} + \frac{1}{\sqrt{3} + t} \, \text{d}t[/tex]

Nå integrer vi og får

[tex]I = \log \left( \frac{3+\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}\right) = 2\log\left(3+\sqrt{3} \right) - \log(6)[/tex]

Der log står for den naturlige logaritmen, om du ønsker fasitsvaret bruker du bare heller den hyperbolske tangenssubstitusjonen i stedenfor =)

[krje1980]

Jobber med saken, Nebu. Er svært takknemlig for hjelpen din

[Nebuchadnezzar]

Sånn tada!

[krje1980]

Fantastisk, Nebu! Merker at jeg er alt for rusten på integrasjon! Jeg er svært, svært takknemlig! Jeg begynte med substitusjonen du foreslo, og endte opp med å senere knote med delbrøksoppspaltning. Følte jeg nesten kom i mål, men på det bestemte integralet endte jeg opp med verdien [tex]ln(0)[/tex] for den ene verdien i det bestemte integralet. Altså må noe ha vært feil! Ugh!

Dog godt å vite at resonneringen før integralet er korrekt . Tviler på vi får integraler av slikt omfang på eksamen.

[Nebuchadnezzar]

Vi fikk

[tex]\int \sqrt{2e^{2t} +1} \text{d}t[/tex]

Å bryne oss på, på vår øving... det integralet der var irriterende, endte opp med å bruke [tex]x = \sqrt{2e^{2t} +1}[/tex] og å se på "magisk" vis at [tex]\text{d}t = \frac{x}{x^2-1} \text{d}{x}[/tex]

Regner med at integraler ikke har så stort omfang på vår eksamen heller ^^

[krje1980]

Det er i hvert fall ingen tvil om at du er integralkongen på forumet. Du har en unik evne til å finne substitusjoner som fungerer

[Nebuchadnezzar]

Rosen din rødmer

Men jeg er nok ikke så veldig flink, er mange andre som er lysår unna meg. Er bare noen småsyssler på fritiden.

Dersom du kan faktorisere det under rottegnet er det (alltid?) mulig å bruke en av faktorene som variabelskifte.
Et annet tips er å bare sette hele roten, inkludert det som står under variabelen som ny variabel.
Sistnevte er å skrive om det som står under rottegnet til et perfekt kvadrat og bruke en trigonometrisk substitusjon.

Disse tre metodene fungerer for å kverke det meste av integral som inneholder stygge røtter. Men ja, ser en nok oppgaver så ser raskere og raskere hva som må til, og jeg har ikke jobb ved siden av skolen heller.

Et integrl som løses ekstreeeemt lett om en ser substitusjonen er vist under, jeg fant dog ikke denne. Og brukte en god del arbeid for å finne svaret.

[tex]\int_{0}^{1} \sqrt{ \frac{x}{1 - x} } \, \text{d}x [/tex]

men det er jo slike ting som er artige, og da en faktisk lærer noe =)