sfære og plan

[Nebuchadnezzar]

Dersom jeg har esfære på formen x^2 + y^2 + z^2 = 1
og et plan på formen x + y + z = 1

Disse skjærer hverandre, og danner en sirkel.
Hvordan finner jeg sentrum i sirkelen, og radius?

Vet dette er R2 greier, men etter mange våkne netter står det litt stilt

[Aleks855]

Siden radiusen på sfæren = konstanten på planet (1), så vil planet bare tangere sfæren, vel?

[Nebuchadnezzar]

Ikke nødvendigvis (utifra graf, vet jeg at de skjærer hverandre)

at konstantleddet i et plan eren betyr bare at planet er hevet en i z retningn, planet kan fortsatt st såpass mye på skrå at det skjærer sfæren men ikke så mye at de tangerer hverandre.

[Vektormannen]

Man ser fort tre punkt de har felles, nemlig (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1), så planet kan umulig bare tangere sfæren. Men det man vet nå er at disse tre punktene ligger på skjæringssirkelen. Punktene danner også en likesidet trekant, siden det er samme avstand mellom dem. Basert på det skal det være mulig å finne sentrum i sirkelen (og da også radius.)

[Vektormannen]

Når jeg tenker meg om så er vel dette mer i stil med det man gjør på VGS:

Du kan lage en parameterframstilling av linja som går gjennom sentrum i kula, og som har samme retning som normalvektoren til planet. Er du med på at der denne linja skjærer planet vil være sentrum i skjæringssirkelen? Det er nok litt enklere å finne sentrum på den måten enn den jeg foreslo ovenfor .

[Aleks855]

http://en.wikipedia.org/wiki/Plane%E2%8 ... tersection

Mulig jeg tok det som sto her litt for bokstavelig...

[Nebuchadnezzar]

Så sentrum av denne sirkelen ligger i [tex]\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)[/tex] ?

=)

[Vektormannen]

@Aleks:

Du overså nok at koeffisientene skal være normalisert (som betyr at summen av kvadratene av dem skal være 1.) Her er ikke [tex]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/tex], altså kan man ikke slutte noe som helst om skjæringen. Men hvis vi deler planligningen på [tex]\sqrt 3[/tex] så får vi:

[tex]\frac{1}{\sqrt 3}x + \frac{1}{\sqrt 3}y + \frac{1}{\sqrt 3}z = \frac{1}{\sqrt 3}[/tex]

Da er [tex]a^2 + b^2 + c^2 = 3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt 3}\right)^2 = 1[/tex], og vi ser at konstanten [tex]d[/tex] nå er [tex]\frac{1}{\sqrt 3}[/tex]. Da er [tex]d < r[/tex], og det blir altså en skjæringssirkel.

@Nebu:

Sentrum blir vel bare (1/3, 1/3, 1/3)? Linja skal gå gjennom sentrum (0,0,0) og ha retning langs (1,1,1). Linja vil altså være gitt ved [tex](x,y,z) = t(1,1,1)[/tex]. Setter inn i planligningen og får [tex]t + t + t = 3t = 1[/tex], som gir [tex]t = 1/3[/tex].

[Nebuchadnezzar]

For en dust jeg er, fant ut hvor den krysset sfæren og ikke planet.

Endte opp med å kunne faktorisere [tex]\sqrt{18 - 6 \sqrt{2}}[/tex] som gikk dårlig, nå gikk oppgaven oppp =)

[gundersen]

Hvordan parameteriserte du dette, Nebu? Har gjort alt fram til parameteriseringen, men står fast der

[Nebuchadnezzar]

[tex]L=\left{ \begin{array}{l} x = t + 0 \\ y = t + 0 \\ z = t + 0 \end{array}\right.[/tex]

Det var da som bare, hadde virkelig forventet at formumet støttet cases...

Men ja slik ser parameterfremstillingen ut, også er det bare å sette inn i planlikningen, for å finne ut hvor de krysser.

[gundersen]

Tenkte på parameteret for sirkelen inne i i fsæren. Ble bare mye rot slik jeg satt det opp:P

[Nebuchadnezzar]

Vi måtte parametrisere sirkelen og i oppgaven

Etter å ha funnet sentrum og radius, fant jeg to vektorer som stod vinkelrett på hverandre. Og brukte disse til å sette opp en parameterfremstilling for sirkelen.

http://www.viewdocsonline.com/document/q8hal9

Blir mye rot slik ja, ofte er det enkle det beste. =) Er litt feil men pytt

[gundersen]

Ser man det thx