Koordinat til skjæringspunkt

[prasa93]

Har en egentlig veldig grei oppgave, som jeg har jernteppe på. Noen som gidder å dytte meg i gang?

Et plan har en normalvektor n = [3, 2, -1]
Dessuten ligger punktet a(-2, 1, 0) i planet.

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom planet og y-aksen.

x og z blir jo null, men hvordan løser man denne?

[Nebuchadnezzar]

Klarer du å skrive opp likningen for planet?

[tex]\pi = a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) [/tex]

Der [tex]x_1 , y_2 , z_1[/tex] er koordinatene til punktet ditt og a,b,c er normalvektoren.

Når du har satt opp denne så er det bare å løse [tex]\pi = 0[/tex] for [tex]y[/tex], når [tex]z=0[/tex] og [tex]x=0[/tex]

Ser du hvorfor dette fungerer?

[prasa93]

Jepp, likningen har jeg av "likning for et plan" --> 3x + 2y - z + 4 = 0. Følger deg ikke videre dessverre.

EDIT: Eh, man finner y ut fra likningen, bare? Ved å sette inn 0 for x og z?

3 * 0 + 2y - 0 + 4 = 0

2y = -4

y = -2

Koordinater (0, -2, 0)? Ser ikke hvorfor det fungerer, though.

[Nebuchadnezzar]

Så planet er [tex]3x + 2y - z + 4 = 0[/tex] godt jobbet =)

Nå hva er et plan? Jo en kan tenke seg et plan på flere måter, en er å si at et plan er et slags uendelig stort papirark i et tredimensjonalt rom.

En annen måte å tenke på det er at et plan er alle samlingen av punkter [tex](x_1,y_1,z_1)[/tex] som oppfyller likningen

[tex]3x + 2y - z + 4 = 0[/tex]

Nå kan vi for eksempel (for å illustrere) sjekke om punktet [tex](1,2,8)[/tex] ligger i planet (ren innsetning)

[tex]3(1) + 2(2) - 8 + 4 = 3 + 4 - 8 + 4 = 3 [/tex]

Altså ligger ikke punktet i planet, siden den ikke oppfyller kravet. om at

[tex]3x + 2y - z + 4 = 0[/tex]

På samme måte kan vi si at alle punkter [tex](x_1,y_1)[/tex] som oppfyller kravet

[tex]x^2 - y = 0[/tex]

ligger på denne parabelen, eller kurven =)


Nå er spørsmålet, ligger punktet [tex](0,-2,0)[/tex] i planet?

Er dette det eneste skjæringspunktet med y aksen? (svaret er ja, bare for ikke å forvirre deg)

Er det mulig at et plan krysser en akse i mer enn et punkt? (svaret er ja)

[prasa93]

Ok. For å ta dette videre et steg:

Vektorene a = [1, -2, 3] og b = [2, 1, -1] er parallelle med et plan a.

a) Finn a x b. Finner ved kryssprodukt.
c) Planet skjærer z-aksen i verdien 2. Finn likning for a.

Hva skal vi egentlig gjøre på oppgave c? Er z-aksen i verdien 2 gitt ved (0,0,2)?