Hei.
Står temmelig fast på hvordan jeg kan gå løs på følgende problem:
Show that every phase path of
[tex]x^{\prime \prime} + \epsilon|x|sgn(x^\prime) + x = 0[/tex],
[tex]0 < \epsilon < 1[/tex],
is an isochronous spiral (that is, every circuit of the origin on every path occur in the same time).
Vet ikke helt hvordan jeg kan angripe dette her. Hvis jeg setter [tex]x^\prime = y[/tex] og finner et uttrykk for [tex]y[/tex], kan jeg da bruke f.eks et konturintegral rundt origo på formen [tex]\int \frac{dx}{y}[/tex] til å finne svaret? Eller er jeg helt på bærtur?
Her står jeg virkelig fast, så tips mottas med stor takk!
Faseplan problem
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det første er vel å skissere faseplanet. Har du en spiral med likevektspunkt i origo skulle vel metoden fungere, såfremt det er mulig å beregne integralet. Kan det være en idé å bruke polarkoordinater? (har dessverre ikke hatt tid til å regne oppgaven i detalj) Hvor langt har du kommet selv?
Hei plutarco. Har vel egentlig gått videre fra denne oppgaven. Liker ikke å resignere, men det er såpass mye pensum, og tror nok denne oppgaven er på et høyrere nivå enn det det er meningen vi skal holde på med (i hvert fall så tidlig i pensum)
Sett [tex]x^,=y[/tex]. Vi fårkrje1980 wrote:Hei.
Står temmelig fast på hvordan jeg kan gå løs på følgende problem:
Show that every phase path of
[tex]x^{\prime \prime} + \epsilon|x|sgn(x^\prime) + x = 0[/tex],
[tex]y^,+\epsilon|x|sgn(y)+x=0[/tex]
Gang begge ligningene med en skaleringskonstant r>0:
[tex](rx)^,=ry[/tex]
[tex](ry)^,+\epsilon |rx|sgn(y)+rx=0[/tex]
Siden sgn(ry)=sgn(y) når r>0 vil altså rx og ry være løsninger når x og y er løsninger på systemet.
I faseplanet kan vi se på en løsning som en vektor [tex](x(t),y(t))[/tex]
Over en tid T vil altså vektoren ha rotert 2pi grader om origo. En annen løsning vil være r(x,y), og den vil nødvendigvis bruke den samme tida T på å rotere 2pi grader.
Det står nevnt om skalering av lineære systemer i kapittel 2.6 i min versjon.
Selv om dette systemet kanskje ikke kan kalles lineært, ser jeg ikke problemet med å skalere her.. (Ser man på de ulike kvadrantene i faseplanet vil jo systemet være lineært i hver av disse, så da kan man vel dele opp og beregne for hver kvadrant.)
Selv om dette systemet kanskje ikke kan kalles lineært, ser jeg ikke problemet med å skalere her.. (Ser man på de ulike kvadrantene i faseplanet vil jo systemet være lineært i hver av disse, så da kan man vel dele opp og beregne for hver kvadrant.)
Denne oppgaven ble gitt allerede i seksjon 1.4, før skalering er nevnt.
Jeg har nå gått gjennom 1.1 - 1.5 i boken - dette er alt fra kapittel 1 som er pensum. Det som irriterer meg mest med boken foreløpig er at jeg allerede har funnet mange skrivefeil. F.eks. kan det stå x' når man egentlig mener x'', eller x når man egentlig mener f(x). I tillegg har jeg også oppdaget fasitfeil. Boken virker også litt for lite rigid og er nesten uten beviser. Når synes jo jeg bevisføring kan være nokså krevende, men her blir det rett og slett for lite. Det blir alt for mye til at man "bare må akseptere at ting er slik". Når jeg nå har vært igjennom f.eks. reell analyse, så blir dette faktisk et irritasjonsmoment, og det er vanskeligere å se hvordan bitene henger sammen.
På den annen side er kapittel 1 mer et introduksjonskapittel hvor man viser hvordan andreordens ikke-lineære diff.likninger inngår i en del fysiske problemer. Håper derfor at boken blir bedre fra kapittel 2 og utover når man går mer i dybden på spesifikke emner.
Jeg har nå gått gjennom 1.1 - 1.5 i boken - dette er alt fra kapittel 1 som er pensum. Det som irriterer meg mest med boken foreløpig er at jeg allerede har funnet mange skrivefeil. F.eks. kan det stå x' når man egentlig mener x'', eller x når man egentlig mener f(x). I tillegg har jeg også oppdaget fasitfeil. Boken virker også litt for lite rigid og er nesten uten beviser. Når synes jo jeg bevisføring kan være nokså krevende, men her blir det rett og slett for lite. Det blir alt for mye til at man "bare må akseptere at ting er slik". Når jeg nå har vært igjennom f.eks. reell analyse, så blir dette faktisk et irritasjonsmoment, og det er vanskeligere å se hvordan bitene henger sammen.
På den annen side er kapittel 1 mer et introduksjonskapittel hvor man viser hvordan andreordens ikke-lineære diff.likninger inngår i en del fysiske problemer. Håper derfor at boken blir bedre fra kapittel 2 og utover når man går mer i dybden på spesifikke emner.
Skjønner frustrasjonen. Boka har opplagt en "anvendt" tilnærming til temaet. En mer avansert innføring fins i
http://www.amazon.com/Differential-Equa ... 0387951164
http://www.amazon.com/Differential-Equa ... 0387951164