Period of limit cycle

[krje1980]

Hei.

Kommer ikke helt i mål på denne oppgaven:

Find the equation of the limit cycle of

[tex]x^{\prime \prime} + (4x^2 + (x^\prime)^2 -4)x^\prime + 4x = 0[/tex]

What is its period?


OK, første del av oppgaven er enkel. Vi setter:

[tex]x^\prime = y[/tex]

[tex]h(x,y) = (4x^2 + (x^\prime)^2 -4)x^\prime[/tex]

[tex]\frac{dE}{dt} = -yh(x,y) = -(4x^2 + y^2 - 4)y^2[/tex]

[tex]\frac{dE}{dt} > 0[/tex] hvis [tex]4x^2 + y^2 < 4[/tex]

[tex]\frac{dE}{dt} < 0[/tex] hvis [tex]4x^2 + y^2 > 4[/tex]

Derfor har vi at limit cycle er gitt ved ellipsen:

[tex]4x^2 + y^2 = 4[/tex]

Eller:

[tex]x^2 + \frac{y^2}{4} = 1[/tex]

Som også stemmer med fasit.

Jeg vet imidlertid ikke helt hvordan jeg kan gå frem for å finne perioden. Vi har jo at [tex]y = \pm 2\sqrt{1 - x}[/tex]

Prøvde å regne ut:

[tex]\int_{-1}^{1} \frac{dx}{2 \sqrt{1-x}} - \int_{1}^{-1} \frac{dx}{2 \sqrt{1-x}}[/tex]

(Det første integralet er positivt siden vi beveger oss i øvre del av faseplanet og det andre blir dermed negativt)

Dette gir imidlertid svaret [tex]0[/tex] når svaret skal bli [tex]\pi[/tex]. Altså gjør jeg noe feil. Setter veldig stor pris på hjelp!

[Gustav]

Her har du nok gjort en slurvefeil. Bytter du om grensene i det andre integralet og skifter fortegn får du


[tex] 2\int_{-1}^1\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\,dx=\pi[/tex]

[krje1980]

Ah, selvsagt! En slurvis fra min side! Takk så mye