Forkorting av brøk

[malef]

Bestem a slik at brøken kan forkortes.

[tex]\frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+a}[/tex]

Jeg skjønner såpass som at her må det faktoriseres, så da begynner jeg med å faktorisere teller:

[tex]\frac{(x-3)(x+1)}{x^2-4x+a}[/tex]

Nå skjønner jeg at det er enten (x-3) eller (x+1) som skal bort. Da blir spørsmålet hvordan jeg kommer dit. Løsningen ble å prøve ulike a-verdier. a=3 ga et greit kvadrattall under rottegnet og x=3 eller x=1.

Jeg fikk da [tex]\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-1)}[/tex] og kan forkorte brøken.

Spørsmålet mitt er hvordan jeg kunne gjort dette på en mer elegant måte, uten prøving og feiling.

[2357]

[tex]ax^2+b+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

Der [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2 [/tex] er løsningene av [tex]ax^2+b+c=0[/tex].

[malef]

Takk for svar, men dette forsto jeg dessverre ikke Hadde du giddet å vise formelen i bruk på «mitt» stykke?

[Nebuchadnezzar]

Hva får du dersom du bruker andregradsformelen på nevneren ?

[PeterGriffin]

Mulig jeg er kraftig på bærtur her, men:

Etter å ha faktorisert teller som du har gjort, kan man ikke da sette uttrykket i nevner lik null for en av x verdiene i teller, slik at uttrykket får minst én felles faktor i teller og nevner? Mao:

3^2-4*3=-a
a=3


Da kan jo brøken forkortes.

[malef]

Hva får du dersom du bruker andregradsformelen på nevneren ?

hm, jeg får [tex]2 \pm \sqrt{4-a}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

PeterGriffin`s metode er mye lurere enn min, men jeg skal la han få æren av å forklare den.

ABC-formelen, eller andregradsformelen gir deg nullpunktene ikke sant?
Og dersom brøken skal være mulig å forkorte så må nullpunktene i teller og nevner være lik.

Dermed kan du for eksempel prøve å løse

[tex]3 = 2 \pm \sqrt{4 - a}[/tex] og [tex]-1 = 2 \pm \sqrt{4 - a}[/tex]

[PeterGriffin]

Hehe, sjelden jeg får høre at jeg har gjort noe riktig når det gjelder matte!

Er ikke poenget rett og slett å bestemme a slik at man får minst en felles faktor i teller og nevner?

Det er vel bare å sette inn som jeg gjorde over.

For hvis du setter inn en av x verdiene fra telleren i uttrykket under, og får a alene på ene siden, så finner du verdien for a som gjør at nevner blir 0 for f.eks x=3.
Hvis x=3, så må a=3 for at dette skal stemme, og du får da en felles faktor, og kan forkorte.

Jeg er ikke noe stødig på dette, men mener å huske dette fra R1. Det er R1 sant?

[malef]

Oppgaven er fra 1T-boken. Nå har jeg gjort som du forklarte, og får da a=3 når jeg setter inn 3 for x, og a=-5 når jeg setter inn -1 for x.

Men så må jeg vel sette inn 3 og -5 for a i nevner for å sjekke hvordan faktorene blir? Har på følelsen at jeg nesten skjønner dette nå ...

[PeterGriffin]

Jepp, da har du løst oppgaven.

Siden oppgaven ber deg bestemme a slik at brøken kan forkortes, så kan du sette to streker under setningen:

Brøken kan forkortes når a=3 eller når a=-5.

Riktig som du sier at du bør sette inn 3 og -5 for a og vise de to ulike alternativene dette gir.

For a= 3 får du (x-3)(x-1) i nevner
og for a=-5 får du (x-5)(x+1) i nevner.

Så kan du sette to streker under setningen jeg nevnte over. Da er det i hvertfall null tvil om at du har forstått oppgaven.

[malef]

Nå henger jeg endelig med Hadde gjort en liten regneleif i sted som gjorde at jeg ikke skjønte hvordan -5 kunne funke. Regnet gjennom igjen nå etter siste forklaring, og da falt alt på plass. Takk til alle sammen for super hjelp!