Rette linjer i rommet

[prasa93]

Punktene A(1, 1, 3) og B(-1, 1, 5) er gitt.

a) Ei linje l er paralell med vektoren [0, 2, -2] og går gjennom punktet A. Ei linje m går gjennom både A og B. Ei linje n går gjennom b og står normalt på både l og m. Finn en parameterframstilling for n.

Ok, angriper denne ved å lage parameterframstillinger for l og m.

l:

x= 1
y= 1 + 2t
z = 3 - 2t

m:

x= 1 - 2t
y = 1
z = 3 + 2t

n:

x = -1 + hva
y = 1 + hva
z = 5 + hva

Hvordan gjør man nederst de?

[Vektormannen]

Stikkordet er "normalt på l og m". Du kjenner retningsvektorene til l og m. Hvordan kan du finne en vektor som garantert står normalt på begge disse?

[prasa93]

Krysser dem?

[Vektormannen]

Stemmer det

Det er den viktigste egenskapen ved kryssproduktet; det er en vektor som står normalt på de to du krysset.

[prasa93]

Retningsvektorene er begge [1, 1, 3]? Da blir vel kryssinga lik 0? Hva gjør jeg da?

Svaret på siste er hvertfall

x = -1 + t
y = 1 + t
z = 5 + t

EDIT: Ah, retningsvektorene er gitt ved tallet som står foran t? Da har jeg nok blingsa, ja.

[Vektormannen]

Det du sier i redigeringen din er riktig ja. (1,1,3) er jo det faste punktet B som linjene går gjennom. Det sier ikke noe om retningen. Det som sier noe om retningen er den vektoren vi multipliserer t med. Parameterfremstillingen fungerer jo nettopp sånn at for å få et hvert punkt på linja så starter vi i det faste punktet, og så går vi en viss avstand t i retningen som retningsvektoren peker. Hvis t er 2 så går vi f.eks. to lengder av retningsvektoren i retningen den peker, og hvis t = 0.5 så går vi halvparten av retningsvektorens lengde.

Jeg tror det kan være lurt av deg å kanskje lese og repetere litt om hvordan parameterfremstillinger fungerte igjen.

Men nå er vel resten av oppgaven grei antar jeg?

[prasa93]

Jeg tror det kan være lurt av deg å kanskje lese og repetere litt om hvordan parameterfremstillinger fungerte igjen.

Kan være greit, ja.

Men nå er vel resten av oppgaven grei antar jeg?

Jepp, fikk [4, 4, 4] da jeg kryssa og det er vel det samme som 4 * [1, 1, 1], altså t, t, t?

[Vektormannen]

Det stemmer det. Vektorene [1,1,1] og [4,4,4] er parallelle, så du kan fint bruke [1,1,1] (som jo er den enkleste) som retningsvektor for n.

Jeg oppdaget det ikke før nå, men hvis du ser på fremstillingene dine for l og m så kan du også forenkle disse litt. Vektoren [0,2,-2] (som er retningsvektor for l) er jo parallell med vektoren [0,1,-1], så det er ingenting i veien for å skrive parameterfremstillingen slik:

x = 1
y = 1 + t
z = 3 - t

Den eneste forskjellen mellom denne og din fremstilling er at man her må velge en annen t-verdi (nemlig dobbelt så stor) for å komme til samme punkt på linja. Helt tilsvarende kan du gjøre for fremstillingen av m.