Periode -polarkoordinater

[Fibonacci92]

Vi har polarkoordinatlikningen:

[tex]r^2 = 4 sin (2\theta)[/tex]

I hvilke tilfeller er det vi tillater at r er negativ? (Ikke bare denne polarlikningen, men generelt.)

Dersom jeg har tenkt rett vil grafen til denne likningen være lik uansett om vi tillater negative r eller ikke.

Stemmer det at denne likningen er periodisk med [tex]\pi[/tex]
dersom vi tillater negative verdier for r og [tex]2\pi[/tex] dersom vi ikke tillater negative for r?

Noen som kan utdype litt om det med negative r?

[Nebuchadnezzar]

Lurer på dette jeg og =)

Øving 2 i analyse II ikke sant?

Virker som en kanskje tegner den for positive og negative r samtidig, men litt sært ja.

Spesielt siden alle punkt i planet kan bli beskrevet av en vinkel

[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex] og en positiv [tex]r[/tex]

[Vektormannen]

Man tillater vel alltid negativ r, med mindre man sier at r >= 0, jeg har hvertfall ikke sett noe annet. Det stemmer som Fibonacci92 sier at grafen blir den samme både når vi tillater negative r og ikke, i dette tilfellet. Ligningen er ekvivalent med [tex]r = \pm 2\sqrt{\sin(2\theta)}[/tex]. Hvis vi ser på den positive først så blir den som dere sikkert har funnet ut en kurve som starter i origo, går ut til r = 2 ved [tex]\theta = \frac{\pi}{4}[/tex] og inn igjen til origo ved [tex]\theta = \frac{\pi}{2}[/tex] (ser ut som et blad.) Så har ikke ligningen noen løsninger før [tex]\theta \in [\pi, \frac{3\pi}{2})[/tex], der vi får en helt tilsvarende kurve som i første kvadrant.

Ligningen [tex]r = -2\sqrt{\sin(2\pi)}[/tex] fungerer på samme måte, men pga. minustegnet flippes alt 180 grader rundt. Så når [tex]\theta[/tex] er mellom 0 og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] så fås en kurve i tredje kvadrant (som pga. symmetrien i sinusfunksjonen er helt lik den som kurven den andre ligningen hadde i tredje kvadrant.)

Kort sagt så gir dette da akkurat det Fibonacci92 sier, hvis man kun tillater positive r så vil perioden til ligningen bli [tex]2\pi[/tex]. Når vi tillater negative så får vi begge 'bladene' samtidig, og peridoen blir [tex]\pi[/tex] (når [tex]\theta \in [\pi, 2\pi)[/tex] så vil ligningen med positiv kvadratrot gi en kurve i tredje kvadrant, mens den med negativ rot når gir en kurve i første kvadrant -- totalt sett blir det samme kurve på nytt igjen.)