Parameterframstilling for et plan

[prasa93]

Finn en parameterframstilling for planet B gjennom z-aksen og linja gitt ved likningen y = x i xy-planet. Finn så likningen for B.

På den første tenker jeg at x og y er gitt ved det samme, og at z ikke er 0 (som det vanligvis er i xy-planet (?) pga planet går gjennom z-aksen). Får dermed at

x = s
y = s
z = t

Hvordan finner vi så likninga? Her er vel z = 0?

[Vektormannen]

Parameterfremstillingen din er riktig den.

For å finne planligningen så er dette standardmåten for å finne den:

1) Finn en normalvektor til planet. (Hvis du kjenner to vektorer som er parallelle med planet men ikke med hverandre, så kan du gjøre det. Hvordan?)

2) Finn et punkt [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] som du vet ligger i planet.

3) Alle punkt (x,y,z) i planet må være sånn at hvis du tar vektoren fra det kjente punktet [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] til (x,y,z), altså vektoren [tex][x-x_0, y-y_0, z-z_0][/tex], så skal denne være parallell med planet (hvis ikke må jo (x,y,z) være et punkt utenfor planet.) Det er det samme som at skalarproduktet mellom denne vektoren og normalvektoren til planet er 0. Altså får du planligningen ved å kreve at

[tex][x-x_0, y-y_0, z-z_0] \cdot \vec{n} = 0[/tex]

[prasa93]

Parameterfremstillingen din er riktig den.

Er resonnementet riktig også? Takk for svaret på b). Regner med jeg tar den.

[Vektormannen]

Resonnementet er nok litt tynt (men alt du sier er riktig.) Hvordan vet du f.eks. at x og y ikke skal avhenge av t? Hvordan vet du at z ikke skal avhenge av s? Hvordan vet du at det ikke trenger å være noen konstante ledd i x, y eller z?

Det kan være lurt å tenke på retningsvektorer når du skal resonnere deg frem til parameterfremstillinger. Når du skal lage fremstillingen for et plan så er det jo nettopp et fast punkt og to ikke-parallelle vektorer som du vet ligger i / er parallelle med planet du trenger.