Partielle difflikninger

[vektordamen]

Hei.
Fikk denne oppgaven på en øving, sjønner ikke helt hva de mener jeg skal gjøre. Noen som vet hva jeg skal gjøre?

For hver av ligningene under, anta at du har funnet to uavhengige løsninger
v(x, y) og uw(x, y). For hver ligning, sjekk om v +w og c · v for en vilkårlig konstant c også er løsninger av ligningen.
a) uxx + 3uy + u = 0
b) uxx + uyy + u = sin x sin y

[Vektormannen]

Slik jeg tolker oppgaven så skal du ikke gjøre noe annet enn å sette inn [tex]v + w[/tex] og [tex]c \cdot v[/tex] i ligningen og se om de er løsninger. F.eks. får du på a):

[tex](v(x,y) + w(x,y))_{xx} \ = v_{xx}(x,y) + w_{xx}(x,y)[/tex] 

[tex](v(x,y) + w(x,y))_{y} = v_{y}(x,y) + w_y(x,y)[/tex]

Setter du inn i uttrykket på venstre side i ligningen så får du da:

[tex](v_{xx}(x,y) + w_{xx}(x,y)) + 3(v_y(x,y) + w_y(x,y)) + (v(x,y) + w(x,y))[/tex]

Nå kan vi gruppere sammen alt som har med [tex]v[/tex] og gjøre og alt som har med [tex]w[/tex] og gjøre. Da blir venstresiden:

[tex](v_{xx}(x,y) + 3v_y(x,y) + v(x,y)) + (w_{xx}(x,y) + 3w_y(x,y) + w(x,y))[/tex]

Men nå har du jo antatt at [tex]v[/tex] og [tex]w[/tex] er løsninger av ligningen, så du vet at hver av parentesene ovenfor er lik 0, ikke sant? Altså har du at

[tex](v_{xx}(x,y) + 3v_y(x,y) + v(x,y)) + (w_{xx}(x,y) + 3w_y(x,y) + w(x,y)) = 0 + 0 = 0[/tex]

Som akkurat er høyresiden i ligningen. Altså oppfyller [tex]v+w[/tex] ligningen.

For å betrakte om [tex]c \cdot v[/tex] er en løsning så trenger du egentlig ikke regne på det. En slik konstant (jeg antar c er det?) vil jo ikke bli med i derivasjon med hensyn på x eller y, så den kan du ta utenfor i alle ledd i ligningen. Da står du igjen med [tex]c(u_{xx}(x,y) + 3u_y(x,y) + u(x,y)) = c \cdot 0 = 0[/tex], og altså løser [tex]c \cdot v[/tex] ligningen.

Forstår du hvordan du skal gå frem nå?

EDIT: oh god ... Anne?

[drgz]

Vectors in the air, everywhere I look around...

[vektordamen]

Hihi.. Takk for hjelpo Vektormannen Ja, da e meg Men da eg stussa litt på nå, e at på den eine antatte uavhengige løysingo så står da uw(x,y). Koffor står da ein u forran w'en? Sjønne ikkje da.. Men kan jo ver ein skrivefeil i oppgåvo eller nåke? For sånn så du gjor da va jo logisk og bra

[Aleks855]

Oh my, det var en ganske langt-sør-dialekt du skrev med

[Nebuchadnezzar]

[Vektormannen]

Så så folkens

Hihi.. Takk for hjelpo Vektormannen Ja, da e meg Men da eg stussa litt på nå, e at på den eine antatte uavhengige løysingo så står da uw(x,y). Koffor står da ein u forran w'en? Sjønne ikkje da.. Men kan jo ver ein skrivefeil i oppgåvo eller nåke? For sånn så du gjor da va jo logisk og bra

Tror nesten det må være en skrivefeil ja. Kanskje noen andre her har sett skrivemåten uw(x,y) før og har en forklaring på det?