Framgangsmåte for likning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
smatte
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 4
Joined: 02/02-2012 17:18

Støter på problem når det kommer til framgangsmåte.

Hva gjør man først? Og hva er egentlig gjort mellom linjene her:


15 000⋅1,05⋅((1,05^n −1)/0,05) >1000 000

1,05^n >263/63

n > (ln 263 − ln 63) / ln1,05

n > 29,3

1kilo takk til den som forklarer dette for meg.
Fibonacci92
Abel
Abel
Posts: 665
Joined: 27/01-2007 22:55

[tex]15000\cdot 1.05 \cdot \frac{1.05^n-1}{0.05} > 1000000 [/tex]

Ganger med 0.05 på begge sider av ulikhetstegnet.

[tex]15000\cdot 1.05 \cdot (1.05^n-1) > 1000000 \cdot 0.05 = 50000 [/tex]

[tex]15000\cdot 1.05 \cdot (1.05^n-1) > 50000 [/tex]


Deler på [tex]15000\cdot1.05[/tex] på begge sider av ulikhetstegnet.

[tex] (1.05^n-1) > \frac{50000}{15000\cdot 1.05} =\frac{200}{63}[/tex]


[tex] (1.05^n-1) > \frac{200}{63}[/tex]

Legger til 1 på begge sider av ulikhetstegnet.


[tex] 1.05^n > \frac{200}{63} + 1 = \frac{263}{63} [/tex]

[tex] 1.05^n > \frac{263}{63} [/tex]

Tar ln på begge sider:

[tex] ln (1.05^n) > ln(\frac{263}{63}) [/tex]

Bruker regel som sier at: [tex] ln (a^x) = x\cdot ln(a)[/tex]

[tex] n \cdot ln (1.05) > ln(\frac{263}{63}) [/tex]

Deler på ln(1.05) på begge sider

[tex] n > \frac{ln(\frac{263}{63})}{ ln(1.05)} [/tex]

Bruker regel som sier at: [tex] ln (\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)[/tex]

[tex] n > \frac{ln(263) - ln(63)}{ ln(1.05)} [/tex]

Kommentar:

Du lurer kanskje på hvorfor ulikheten blir bevart dersom vi bruker ln funksjonen på begge sider? Det kommer av en egenskap ved funksjonen som er slik at dersom

[tex]a > b \leftrightarrow ln(a) > ln (b) [/tex]

Dette ser du hvis du tegner inn grafen f(x) = ln(x) i f.eks. geogebra.
smatte
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 4
Joined: 02/02-2012 17:18

Ola låner to millioner kroner. Det må tilsvare nåverdien av alle terminbeløpene. Vi kaller terminbeløpene T. Av skjemaet ser vi at nåverdiene av terminbeløpene utgjør en
geometrisk rekke med 25 ledd, a1 = T/1,063 og k = 1/1,063 .

Summen av de 25 leddene blir
S25=T/1,063 * ((1,063^-25)-1)/(1,063^-1)-1 og dette skal være lik 2 000 000.

T*((1,063^-25)-1)/(1-1,063)=2 000 000

T= (2 000 000 * 0,063)/(1-1,063^-25)=160 941

Det som er uklart er hvorfor det blir opphøyd i minus (i.e. ^-25) og utregning videre er så uklar. Forstår ikke hva som er gjort.

Noen som kan hjelpe på vei?
Post Reply