Ulikhet

[Kork]

Hvordan kan jeg løse denne ulikheten for [tex]p[/tex]?
[tex]$$5 \cdot {e^{1,2x - 0,1p{x^2}}} < 20$$[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Har du prøvd? Er ikke noe videre jokus pokus enn å ta logaritmen på begge sider, aller helst skrive om [tex]0.1=1/10[/tex] og [tex]1.2 = 6/5[/tex]

Også issolere [tex]p[/tex], likeledes med [tex]x[/tex], men her får du en mindre pen andregradslikning.

Og selv ender jeg opp med

[tex]p \ > \ \left( \frac{2}{x}\right)^2 \left( 3x - 5 \ln 2\right) \qquad x \neq 0[/tex]

[Kork]

Hmm, jeg tror jeg har gjort det for vanskelig, oppgaven jeg holder på med er:

Vi har 5,0 millioner bakterier. Medisinkuren blir dosert slik at [tex]$$y^\prime = 0,2 \cdot y \cdot \left( {6 - px} \right)$$[/tex]. Hva må [tex]p[/tex] minst være for at maksimum skal bli under 20?

Fasit: [tex]p=2,6[/tex]

Og derfor kom jeg til ulikheten [tex]y(x) \ < \ 20[/tex] over. Men nå har jeg helt mistet sporet.

Kan jeg bruke at [tex]$$0 = 0,2 \cdot 20 \cdot \left( {6 - px} \right)$$[/tex] gir [tex]px=6[/tex]?

[Nebuchadnezzar]

Nå er jeg litt trøtt, og prøvd å komme på den fine fancy løsningen, men det klarer jeg ikke...

Ved å lage meg en fin graf, ser jeg at bakteriekulturen begynner på [tex]5[/tex] millioner, også stiger den et stykke, før den daler fint ned mot null.

Vi ønsker at det maksimale antallet bakterier aldri overstiger [tex]20[/tex] millioner.

Som du har vist så er toppunktet når [tex]y^{\prime}=0[/tex] som inntreffer når [tex]x=p/6[/tex]

Så trenger du bare å gjøre slik at toppunkter er mindre enn [tex]20[/tex] millioner. Altså

[tex]y\left( \frac{p}{6}\right) < 20 \cdot 10^6[/tex]

Løser du denne likningen får du rett svar =)

[Janhaa]

hvis diff.lik løses, så fås:

[tex]y=(5*10^6)*e^{1,2x-0,1px^2}[/tex]

så er p = 6/x
slik at

[tex]y=20*10^6=(5*10^6)*e^{0,6x}[/tex]
dvs
[tex]\ln(4)=0,6x[/tex]
og
[tex]x=2,31[/tex]
dvs
[tex]p=2,6[/tex]

men det føltes tungvint...

[Kork]

Takk for svar, jeg forsto løsningen til slutt, her har jeg formulert logikken så godt jeg kan:

Når [tex]x=6/p[/tex] så er [tex]y[/tex] i toppunktet. Derfor viser [tex]y(6/p)[/tex] toppunktet ved forskjellige verdier av [tex]p[/tex].

[tex]$$5 \cdot {e^{1,2\left( {\frac{6}{p}} \right) - 0,1p{{\left( {\frac{6}{p}} \right)}^2}}} = {\text{Toppunktet ved forskjellige verdier av }}p.$$[/tex]

[tex]$$5 \cdot {e^{1,2\left( {\frac{6}{p}} \right) - 0,1p{{\left( {\frac{6}{p}} \right)}^2}}} = 20\,\,\, \Rightarrow \,\,\,p \approx 2,6$$[/tex]

Heldigvis er tilfredsstillelsen av å forstå løsningen proporsjonal med vanskelighetsgraden.

[Nebuchadnezzar]

Riktig dette. Du kan også se at den deriverte er null når [tex]x=6/p[/tex]

Som er selve definisjonen av et ekstremalpunkt (og saddelpunkt)