ellipse enhetstangent/normal vektorer og krumming.

[nitschk]

Heisann, sitter med en "lang" oppgave som jeg nå har jobbet og etterhvert klart å irritere meg over i en god stund. Hodet er ganske brukt opp akkurat nå, så jeg skal bare prøve å få ut det jeg lurer på så enkelt og konkret som mulig.

Gitt ellipsen i normalstilling med ligningen:
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2 ) = 1

x = a*cos(t) y = b*sin(t)

r(t) = [a*cos(t) , b*sin(t)]
r'(t) = [a*-sin(t) , b*cos(t)]
r''(t) =[a*-cos(t) , b*-sin(t)]

Så skal jeg da finne Enhetstangentvektoren T(t) = r'(t) / |r'(t)|
Som jeg har kommet frem til at så mye som:

[a*-sin(t) , b*cos(t)] / [symbol:rot] ((a*-sin(t))^2) + ((b*cos(t))^2)
Tenker da at det er noen lure forkortelser jeg burde se, spessielt for rot uttrykket, men det gjør jeg da ikke.

Finn enhetsnormalvektoren N(t). Siden dette er i planet, så trenger jeg vel bare bruke ortogonalitet, N(t) Ortogonal på T(t).
[a,b] *[b,-a]= 0 eller [a,b] *[-b,a] = 0. Der [a,b] = T(t)
Her lurer jeg veldig på hvilken jeg evt skal velge, usikker på hvilken som peker innover i ellipsen.


Neste oppgave er da å finne krummingen i et punkt med parameterverdi t.
har ikke godt noe særlig inn på denne enda.
Men så vidt jeg har forstått skal jeg bruke |T'(t)| / |r'(t)|, noe jeg kan se for meg at kan bli problematisk, men får ta den siden!

Tusen takk på forhånd. Marius.

[Vektormannen]

For å finne ut hvilken normalvektor som peker inn i ellipsen så kan du jo bare se på den ved f.eks. t = 0. Hvilken vei peker hver av alternativene da? (Den du finner ut at peker inn vil fortsette å gjøre det rundt hele ellipsen.) En alternativ metode blir å bruke kryssproduktet der du krysser enhetsnormalvektoren til xy-planet med enhetstangentvektoren. Da bør du også få en av de to alternativene dine.