Ikke-homogen diff.ligning

[krje1980]

Hei.

Gitt:

[tex]x^{\prime \prime} + x = \frac{3}{4}cos(t) + \frac{1}{4}cos(3t)[/tex]


Denne diff.ligningen ligger til grunn for mye av pertbuasjonsteorien jeg nå skal i gang med (og som forøvrig virker veldig vanskelig). Når jeg løser denne selv får jeg svaret:

[tex]x(t) = Acos(t) + Bsin(t) + \frac{3}{8}t sin(t) - \frac{1}{32}cos(3t)[/tex].

Dette får jeg også når jeg kjører ligningen i vår gode venn WolframAlpha.

I følge boken skal man imidlertid ha:

[tex]x(t) = Acos(t) + Bsin(t) + \frac{9}{32}cos(t) + \frac{3}{8}t sin(t) - \frac{1}{32}cos(3t)[/tex]

Altså er det her et ekstra [tex]\frac{9}{32}cos(t)[/tex]-uttrykk. Tilstedeværelsen av dette uttrykket er viktig for flere utregninger som følger. Så hvorfor får boken dette? Er det fordi vi at vi her har en ukjent konstant [tex]A[/tex] foran [tex]cos(t)[/tex], så kan vi igjen dele dette opp i to separate uttrykk, hvor vi tilfeldigvis lar det ene være [tex]\frac{9}{32}[/tex]? Hvis f.eks. [tex]A = 1[/tex], så kan vi jo skrive [tex]cos(t)[/tex] som [tex]\frac{9}{32}cos(t) + \frac{23}{32}cos(t)[/tex].

Fint om noen kan bekrefte/avkrefte dette!

[Vektormannen]

Det stemmer det du sier. Man kan skrive opp det ekstra leddet og så bare kompensere for det ved å la A-konstanten bli -9/32 mindre. Jeg vil tro det er det de har brukt i boken også?

[krje1980]

Ja, det må jo være det som er det logiske . Takk for svar!