Delt funksjonsuttrykk

[mikki155]

[tex]h(x) = x^2+2x , x<1[/tex]
[tex]h(x)=x^2-6x+9, x>1(eller)x=1[/tex]

(Er ikke sikker på hvordan man kan sette inn delt funksjonsuttrykk ved bruk av Latex)

Har rengt ut alt som trengs, og funksjonen er ikke kontinuerlig for x=1, dermed heller ikke deriverbar i punktet, selvsagt.

Jeg deriverer uttrykkene, og ser at grafen får bunnpunkter x=-1 og x=3. I fasiten står det at også x=1 er et toppunkt, og da er y=4.

Hvorfor er det slik at x=1 blir et toppunkt? Finnes det ikke uendelig mange tangenter for dette punktet?

[Vektormannen]

Husk at den deriverte ikke trenger å være 0, eller i det hele tatt eksistere, i et ekstremalpunkt! Et punkt er et ekstremalpunkt dersom du kan lage deg et intervall rundt punktet, der y-verdien i punktet er den største på hele intervallet. Hvis du ser på grafen til denne funksjonen, hvordan ser den ut rundt x = 1? Har den ikke en topp der?

(Det er veldig lurt å tegne en skisse når man har med slike delte funksjoner å gjøre!)

[mikki155]

Tegnte en graf istad, og det var derfor jeg lurte ^^
Men ok, da vet jeg det. Jeg trodde funksjonen måtte være glatt for at det skulle være topp-/bunnpunkt.

Takk for hjelpa

[2357]

[tex]h(x) = \left\{\begin{array}{lr} x^2 + 2x & \qquad x<1 \\ x^2-6x+9 & \qquad x \ge 1 \end{array}\right.[/tex]

[mikki155]

Kopierer like så godt koden ^^

[Vektormannen]

Tegnte en graf istad, og det var derfor jeg lurte ^^
Men ok, da vet jeg det. Jeg trodde funksjonen måtte være glatt for at det skulle være topp-/bunnpunkt.

Takk for hjelpa

Det er kanskje litt uvanlig ja. De fleste funksjoner man møter på pleier jo å være glatte og pene stort sett over alt. For å utdype litt så er det tre typer kandidater når du ser etter ekstremalpunkter:

1) Punkter der den deriverte er 0 (her kan det være et ekstremalpunkt eller et terrassepunkt.)

2) Punkter der den deriverte ikke eksisterer (knekkpunkter, sprang, eller lignende.)

3) Endepunktene på definisjonsmengden, hvis disse er lukket.

Sistnevnte er også noe man ofte glemmer. En oppgave med en slik situasjon ble gitt på forrige R2-eksamen, såvidt jeg husker!

[mikki155]

Jepp, skjønte det nå

Tøft, da er jeg godt forberedt til neste år xP

[2357]

Tilfelle 3 er litt småplundrete, siden disse aldri kan være lokale ekstremalverdier.

[Vektormannen]

Det tror jeg rett og slett kommer litt an på? Det virker ikke som om definisjonen av lokalt ekstremalpunkt er noe man har klart å enes helt om. Analyseboken min definerer lokale ekstremalpunkt separat for punkter i det indre av definisjonsmengden (den vanlige definisjonen), og spesielt for endepunkter (nesten samme definisjon, men da skal det finnes et halvåpent intervall som er lukket i endepunktet.) Hvor vanlig dette er vet jeg ikke. Det ser ut som f.eks. Wikipedia ikke gjør det.

Hadde vært greit om noen kunne belyse dette? Det virker litt rart?