Hei.
Er litt usikker på følgende oppgave:
Substitute the perturbation series
[tex]x(\epsilon, \tau) = x_{0}(\tau) + \epsilon x_{1}(\tau) + \epsilon^{2} x_{2}(\tau) + . . .[/tex]
into the equation
[tex]x^{\prime \prime} + \Omega^{2}x + \epsilon f(x) = \Gamma cos(\tau)[/tex], [tex]0 < \epsilon << 1[/tex],
where [tex]f(x)[/tex] is a smooth odd function of [tex]x[/tex]. Obtain the differential equation for [tex]x_0, x_1, x_2[/tex], and [tex]x_4[/tex]
OK. så her får vi ved innsetting:
[tex](x_{0}^{\prime \prime} + \epsilon x_{1}^{\prime \prime} + . . .) + \Omega^{2}(x_0 + \epsilon x_1 + . . .) + \epsilon f(x_0 + \epsilon x_1 + . . .) = \Gamma cos(\tau)[/tex]
For at dette skal gå opp må koeffisientene matche. Dette er greit for [tex]x_0[/tex]:
[tex]x_{0}^{\prime \prime} + \Omega^{2} x_0 = \Gamma cos(\tau)[/tex]
Jeg er imiderlertid usikker på hvordan jeg skal gå frem på resten, da dette er første gang jeg støter på et [tex]f(x)[/tex]-uttrykk i en slik oppgave (hittil har det bare vært ulike potenser av[tex]x[/tex]. Ser derfor ikke helt hvordan jeg skal sette opp dette for [tex]x_1, x_2[/tex] og [tex]x_3[/tex]. Fasiten gir kun svaret for [tex]x_3[/tex], som skal være:
[tex]x_3 = x_2 f^{\prime}(x_0) + \frac{1}{2}x_{1}^{2}f^{\prime \prime}(x_0)[/tex]
Jeg aner imiderltid ikke hvordan man får dette. Ser jo at dette virker mistenkelig som en Taylor-rekke, men hvordan man har tenkt her, og hvordan jeg skal finne [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] vet jeg ikke.
Setter meget stor pris på hjelp!
Perturbasjon spørsmål
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Taylorutvikling om [tex]x_0[/tex] gir at [tex]f(x_0+\epsilon x_1+...)=f(x_0)+(\epsilon x_1+\epsilon^2 x_2+..) f^,(x_0)+\frac{(\epsilon x_1+\epsilon^2 x_2+....)^2}{2}f^{,,}(x_0)+...[/tex]
SUbstitusjon gir at
[tex]x_0^{,,}+\epsilon x_1^{,,}+\epsilon^2 x_2^{,,}+... \\ + \Omega^2 (x_0+\epsilon x_1+\epsilon^2 x_2+\epsilon^3 x_3+...) \\ + \epsilon f(x_0)+\epsilon^2 x_1f^,(x_0)+\epsilon^3(x_2f^,(x_0)+\frac12 x_1^2f^{,,}(x_0))+...\\ =\Gamma\cos(\tau) [/tex]
SUbstitusjon gir at
[tex]x_0^{,,}+\epsilon x_1^{,,}+\epsilon^2 x_2^{,,}+... \\ + \Omega^2 (x_0+\epsilon x_1+\epsilon^2 x_2+\epsilon^3 x_3+...) \\ + \epsilon f(x_0)+\epsilon^2 x_1f^,(x_0)+\epsilon^3(x_2f^,(x_0)+\frac12 x_1^2f^{,,}(x_0))+...\\ =\Gamma\cos(\tau) [/tex]
I perturbasjonsteori går man ofte ut fra at en løsning [tex]x_0[/tex] (på en enklere variant av ligningen) allerede er kjent. Videre ser man på små variasjoner(perturbasjoner) ut fra dette, altså alle disse epsilon-leddene. Når man Taylorutvikler tar man altså utgangspunkt i den kjente løsningen [tex]x_0[/tex]. Det blir analogt med å utvikle om et punkt på en graf for å approksimere funksjonsverdiene i en liten omegn om punktet, bare at vi her har med funksjoner (av [tex]\tau[/tex]) å gjøre.krje1980 wrote:Takk skal du ha! Nå ser jeg hvordan man har funnet svaret :).
Bare et lite spørsmål - hvorfor er det vi velger å Taylorutvikle rundt akkurat [tex]x_0[/tex] i denne oppgaven?
Last edited by Gustav on 22/02-2012 17:19, edited 1 time in total.
Takk skal du ha, igjen! Det var det jeg trodde, men fint å få det bekreftet 
. Det er jo som sagt enkelt å finne løsningen til [tex]x_0[/tex] i problemet over. Uansett så virker det jeg har lest om perturbasjonsteori hittil nokså krevende og nytt, så ikke bli forbauset hvis det dukker opp noen flere spørsmål fra meg her på forumet fremover .
. Det er jo som sagt enkelt å finne løsningen til [tex]x_0[/tex] i problemet over. Uansett så virker det jeg har lest om perturbasjonsteori hittil nokså krevende og nytt, så ikke bli forbauset hvis det dukker opp noen flere spørsmål fra meg her på forumet fremover .OK, det skal bli fint å få repetert dette;) Perturbasjonsteori brukes for øvrig svært mye i fysikken, f.eks. i kvantemekanikk, fluidmekanikk ol, så det er lurt å lære seg det skikkelig først som sist.krje1980 wrote:Takk skal du ha, igjen! Det var det jeg trodde, men fint å få det bekreftet :). Det er jo som sagt enkelt å finne løsningen til [tex]x_0[/tex] i problemet over. Uansett så virker det jeg har lest om perturbasjonsteori hittil nokså krevende og nytt, så ikke bli forbauset hvis det dukker opp noen flere spørsmål fra meg her på forumet fremover :).
Fint å vite hvilke grener av fysikken det brukes innenfor. Får jo inntrykk av å lese boken at dette er relevant i studiet av systemer hvor stabilitetsanalyse er viktig.
Har forøvrig et lite follow-up spørsmål, så tar det bare i denne tråden.
Jeg har en oppgave av typen:
[tex]x^{\prime \prime} - 0.5x^3 + 0.25x = cos(t)[/tex]
og skal bruke perturbasjonsmetoden over til å finne løsningen over en periode på [tex]2 \pi[/tex].
Oppgaven er altså på formen:
[tex]x^{\prime \prime} + \epsilon h(x, x^{\prime}) + \Omega^2 x = \Gamma cos(t)[/tex]
Vi vet videre at dersom vi bruker perturbasjonsteknikken lenger oppe i tråden så får vi:
[tex]x_{0}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_0 = \Gamma cos(t)[/tex]
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -h(x_0, x^{\prime}_0)[/tex]
Og i denne oppgaven har vi altså:
[tex]h(x, x^{\prime}) = -x^3[/tex], [tex]\Gamma = 1[/tex], [tex]\Omega = 0.5[/tex] og [tex]\epsilon = 0.5[/tex]
I fasiten så har man her gjort som følger:
[tex]x_0[/tex] satisfies:
[tex]x_{0}^{\prime \prime} + 0.25x_0 = cos(t)[/tex]
Therefore
[tex]x_0 = A_0 cos(0.5 t) + B_0 sin(0.5 t) - \frac{4}{3}cos(t)[/tex]
The constants [tex]A_0[/tex] and [tex]B_0[/tex] must be put equal to zero since otherwise [tex]x_1[/tex] will include non-periodic terms.
OK. Dette er jeg helt med på, og klarte også å regne ut på egen hånd.
Så skriver imidlertid fasiten:
The second term satisfies
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + 0.25x_1 = \frac{1}{2}(\frac{4}{3})^3 (cos^{3}t)[/tex]
Mitt spørsmål er: Hvorfor mutlipliserer man dette med uttrykket for [tex]\epsilon[/tex] (altså [tex]\frac{1}{2}[/tex]). Vi har jo allerede definert at:
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -h(x_0. x^{\prime}_0)[/tex]
Men her virker det jo som man tar:
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -\epsilon h(x_0. x^{\prime}_0)[/tex]
Setter veldig stor pris på om du kan forklare dette! Fasiten gjør dette uten å forklare hvorfor.
Har forøvrig et lite follow-up spørsmål, så tar det bare i denne tråden.
Jeg har en oppgave av typen:
[tex]x^{\prime \prime} - 0.5x^3 + 0.25x = cos(t)[/tex]
og skal bruke perturbasjonsmetoden over til å finne løsningen over en periode på [tex]2 \pi[/tex].
Oppgaven er altså på formen:
[tex]x^{\prime \prime} + \epsilon h(x, x^{\prime}) + \Omega^2 x = \Gamma cos(t)[/tex]
Vi vet videre at dersom vi bruker perturbasjonsteknikken lenger oppe i tråden så får vi:
[tex]x_{0}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_0 = \Gamma cos(t)[/tex]
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -h(x_0, x^{\prime}_0)[/tex]
Og i denne oppgaven har vi altså:
[tex]h(x, x^{\prime}) = -x^3[/tex], [tex]\Gamma = 1[/tex], [tex]\Omega = 0.5[/tex] og [tex]\epsilon = 0.5[/tex]
I fasiten så har man her gjort som følger:
[tex]x_0[/tex] satisfies:
[tex]x_{0}^{\prime \prime} + 0.25x_0 = cos(t)[/tex]
Therefore
[tex]x_0 = A_0 cos(0.5 t) + B_0 sin(0.5 t) - \frac{4}{3}cos(t)[/tex]
The constants [tex]A_0[/tex] and [tex]B_0[/tex] must be put equal to zero since otherwise [tex]x_1[/tex] will include non-periodic terms.
OK. Dette er jeg helt med på, og klarte også å regne ut på egen hånd.
Så skriver imidlertid fasiten:
The second term satisfies
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + 0.25x_1 = \frac{1}{2}(\frac{4}{3})^3 (cos^{3}t)[/tex]
Mitt spørsmål er: Hvorfor mutlipliserer man dette med uttrykket for [tex]\epsilon[/tex] (altså [tex]\frac{1}{2}[/tex]). Vi har jo allerede definert at:
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -h(x_0. x^{\prime}_0)[/tex]
Men her virker det jo som man tar:
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -\epsilon h(x_0. x^{\prime}_0)[/tex]
Setter veldig stor pris på om du kan forklare dette! Fasiten gjør dette uten å forklare hvorfor.
Hm, du kan ihvertfall ikke sette at [tex]\epsilon=0.5[/tex]
Oppgaven hadde gitt mer mening om ligningen hadde vært
[tex]x^{,,}-0.5\epsilon x^3+0.25x=\cos(t)[/tex], [tex]0<\epsilon<<1[/tex]
Edit: glem dette
Oppgaven hadde gitt mer mening om ligningen hadde vært
[tex]x^{,,}-0.5\epsilon x^3+0.25x=\cos(t)[/tex], [tex]0<\epsilon<<1[/tex]
Edit: glem dette
Last edited by Gustav on 23/02-2012 00:55, edited 1 time in total.
Hei igjen.
Tror jeg kan sette [tex]\epsilon = 0.5[/tex]. Det er i hvert fall det fasiten gjør. Her er jo [tex]0.5[/tex] koeffisienten til [tex]h(x, x^{\prime})[/tex] uttrykket. I neste oppgave i boken har vi et ledd av typen [tex]0.1x^3[/tex], og da skriver fasiten at [tex]\epsilon = 0.1[/tex]. Og, akkurat som i eksempelet jeg postet, så multipliserer fasiten [tex]0.1[/tex] med [tex]x_{0}^3[/tex]uttrykket man finner.
Bare si i fra hvis du vil jeg skal poste ordrett det fasiten skriver.
Tror jeg kan sette [tex]\epsilon = 0.5[/tex]. Det er i hvert fall det fasiten gjør. Her er jo [tex]0.5[/tex] koeffisienten til [tex]h(x, x^{\prime})[/tex] uttrykket. I neste oppgave i boken har vi et ledd av typen [tex]0.1x^3[/tex], og da skriver fasiten at [tex]\epsilon = 0.1[/tex]. Og, akkurat som i eksempelet jeg postet, så multipliserer fasiten [tex]0.1[/tex] med [tex]x_{0}^3[/tex]uttrykket man finner.
Bare si i fra hvis du vil jeg skal poste ordrett det fasiten skriver.
Nei, dette må være feil. Hva for bok er denne fasiten hentet fra? Selv Jordan og smith får det samme som oss. Eksempel 5.1.krje1980 wrote:Hei igjen.
Tror jeg kan sette [tex]\epsilon = 0.5[/tex]. Det er i hvert fall det fasiten gjør. Her er jo [tex]0.5[/tex] koeffisienten til [tex]h(x, x^{\prime})[/tex] uttrykket. I neste oppgave i boken har vi et ledd av typen [tex]0.1x^3[/tex], og da skriver fasiten at [tex]\epsilon = 0.1[/tex]. Og, akkurat som i eksempelet jeg postet, så multipliserer fasiten [tex]0.1[/tex] med [tex]x_{0}^3[/tex]uttrykket man finner.
Bare si i fra hvis du vil jeg skal poste ordrett det fasiten skriver.
Det skal vel værekrje1980 wrote:
Så skriver imidlertid fasiten:
The second term satisfies
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + 0.25x_1 = \frac{1}{2}(\frac{4}{3})^3 (cos^{3}t)[/tex]
Mitt spørsmål er: Hvorfor mutlipliserer man dette med uttrykket for [tex]\epsilon[/tex] (altså [tex]\frac{1}{2}[/tex]). Vi har jo allerede definert at:
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -h(x_0. x^{\prime}_0)[/tex]
Men her virker det jo som man tar:
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + \Omega^2 x_1 = -\epsilon h(x_0. x^{\prime}_0)[/tex]
Setter veldig stor pris på om du kan forklare dette! Fasiten gjør dette uten å forklare hvorfor.
[tex]x_{1}^{\prime \prime} + 0.25x_1 = -(\frac{4}{3})^3 (cos^{3}t)[/tex], ja.
OK. Takk. Merkelig dette her. Fasiten følger konsekvent den prosedyren jeg har beskrevet over i samtlige oppgaver av denne typen. Men igjen, så kan man jo, av erfaring, ikke stole på denne fasiten i det hele tatt.
Kanskje jeg får sende en mail til fagansvarlig. Setter dog stor pris på innspillene!
Kanskje jeg får sende en mail til fagansvarlig. Setter dog stor pris på innspillene!
Dette er hentet fra Jordan og Smith sin "Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions" som er en ekstra bok man kan kjøpe ved siden av selve hovedboken. Denne viser utregningen og svarene til oppgavene som gis i hovedboken.plutarco wrote: Nei, dette må være feil. Hva for bok er denne fasiten hentet fra? Selv Jordan og smith får det samme som oss. Eksempel 5.1.
Jeg ser imidlertid, akkurat som du, at man i eksempel 5.1 har gjort oppgaven slik som jeg mener disse oppgavene logisk sett burde løses (altså at man ikke multipliserer med [tex]\epsilon[/tex]-leddet).
Snakker vi derfor her om enda flere fasitfeil? Helt utrolig. . .
Ja, alle oppgavene av denne typen er løst slik jeg mener de skal løses i hovedboka til J&S, så det skal bli interessant å høre hva fagansvarlig sier.krje1980 wrote:Dette er hentet fra Jordan og Smith sin "Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions" som er en ekstra bok man kan kjøpe ved siden av selve hovedboken. Denne viser utregningen og svarene til oppgavene som gis i hovedboken.plutarco wrote: Nei, dette må være feil. Hva for bok er denne fasiten hentet fra? Selv Jordan og smith får det samme som oss. Eksempel 5.1.
Jeg ser imidlertid, akkurat som du, at man i eksempel 5.1 har gjort oppgaven slik som jeg mener disse oppgavene logisk sett burde løses (altså at man ikke multipliserer med [tex]\epsilon[/tex]-leddet).
Snakker vi derfor her om enda flere fasitfeil? Helt utrolig. . .