Potensregning med to ukjente?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
javelja
Noether
Noether
Posts: 24
Joined: 10/02-2012 10:29

Hei igjen,

sitter med følgende oppgave:

Hvilke to forskjellige positive hele tall er x og y når

xy=yx

Så langt har jeg tenkt:

x=yxy

x=yxy

x2=(yxy)2

x2=y2xy

Så har jeg egentlig bare prøvd meg frem herfra. Satte

x2=xy slik at y=2

Med det som utgangspunkt

x2=2x

For at x og y skal bli to ulike, hele positive tall må de være x=4 og y=2.

Jeg kommer altså frem til riktig svar, men er ikke sikker på om fremgangsmåten er korrekt (er vel ganske sikker på at den ikke er det). Noen som kan hjelpe med litt oppklaring?

Takk!
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Blir nok dessverre litt feil ja, men det er nok meningen å bare prøve å feile ti en kommer frem til riktig svar.

En alternativ måte, som ikke består av så mye prøving og feiling er å bruke logaritmer.

Vi begynner med

xy=yx

Så tar vi logaritmen på begge sider, og bruker at log(xy)=ylog(x), slik at

ylogx=xlogy

Nå deler vi med x og logx på begge sider (her må vi anta at x>1 ), slik at vi får

yx=logylogx

For at høyre og venstre side skal være lik, må vi fjerne logaritmene på høyre side. Dersom y er på formen xa, så fungerer dette bra. Siden vi da får

xax=log(xa)logx

xa1=alogxlogx

xa1=a

Slik at vi får endelig at

x=aa1 og y=aaa1

Der a er et positivt tall, større enn 1. Setter vi a=2 får vi løsningene x=2 og y=4 som du kom frem til =)

Tilslutt så kan det nevnes at disse er de eneste heltalls løsningene l, siden aa1 og aaa1 er irrasjonale når a>2, men det beviset overlater jeg til noen andre. =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
javelja
Noether
Noether
Posts: 24
Joined: 10/02-2012 10:29

Hei,

takk for svar!

Ja, jeg tenke også at logaritmer i utgangspunktet ville gjøre oppgaven enklere å løse. Det var bare det at oppgaven var den siste i delkapittelet om potensregning, så jeg antok at det var potensreglene som skulle ligge til grunn for besvarelsen.
Post Reply