Egenvektor, egenverdi

[Aleks855]

Kan noen bekrefte/avkrefte at jeg har forstått dette riktig?

Jeg skal har matrisen [tex]A=\left[\begin{array}{cc} 1&2&3\\-1&4&3\\1&-2&-1 \end{array}\right][/tex] og skal avgjøre om vektoren [tex][1,-1,-1]^T[/tex] er en egenvektor av matrisen.

Jeg multipliserer matrisen med vektoren og får [tex][-4,-8,4]^T[/tex] og ser at dette IKKE er en lineær kombinasjon av vektoren jeg fikk oppgitt. Kan jeg her konkludere at vektoren IKKE er en egenvektor av matrisen?

På forhånd takk!

[Vektormannen]

Ja, det kan du. Det er ikke noe mer som ligger i definisjonen av egenvektor enn det du sier -- vektoren skal være slik at når du multipliserer matrisen med den, får du en konstant (egenverdien) ganger vektoren.

[Aleks855]

Flotters! Takker

[Aleks855]

Liten oppfølger, nå med 3x3.

Jeg har funnet den ene egenverdien og egenvektoren, og det stemte med fasit osv.

Den andre egen verdien gjorde at jeg fikk to frie variabler, så jeg satte

[tex]y=s, \ z=t[/tex] og begge ulik 0.

Vanligvis skal jeg nå uttrykke x med hensyn på disse to parametrene, og får at [tex]x=t-3s[/tex]. Hvordan gjør jeg dette når x må defineres med to ledd? I fasit så er det gjort noe som sørger for at 3eren forsvinner, og [tex]\vec x[/tex] er i tillegg summen av to vektorer som bruker hver sin parameter s og t.

Hva er stegene mellom her?

EDIT: Her er det jeg har prøvd, men det stemmer ikke helt med fasit.

[Vektormannen]

Det du har funnet nå er altså at systemet gav deg løsningen [tex]\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = s \left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) + t \left(\begin{array} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)[/tex]. Er du med på den oppsplittingen i to vektorer?

Dette betyr at alle vektorer på denne formen, utenom nullvektoren, vil være en egenvektor til den egenverdien du fant (hvis du har vært borti begrepet så danner de to vektorene i summen på høyre side en basis for egenrommet til matrisen tilhørende egenverdien.)

Hvis fasiten har fått noe annet enn deg ville jeg da sett på om du kan få fastisvaret ved å legge til eller trekke multipler av den ene vektoren fra den andre i summen. F.eks. vil du ha at

[tex]\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = s \left(\begin{array}{c} -3 + 2 \cdot 1 \\ 1 + 2 \cdot 0 \\ 0 + 2 \cdot 1\end{array}\right) + t \left(\begin{array} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)= s \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).[/tex]

Dette er akkurat samme løsningsmengde som du fant, det som har skjedd er bare at s-parameteren har blitt forskjøvet med 2 i forhold til den s-parameteren som er i den første lineærkombinasjonen.

[Aleks855]

Oh! Tusen takk!

Ah, så hvis jeg hadde satt det jeg fikk inn i en matrise, med vektorene i radform, og gausseliminert matrisen, og satt det tilbake, så skulle jeg fått det sistnevnte der?

Det blir en slags "normert" form av det samme? Ser at du har fått det som står i fasiten min, så jeg var vel på riktig spor i alle fall.

[Vektormannen]

Ja, du er ikke bare på riktig spor, du er vel i grunn i mål

Jeg kom frem til fasitsvaret fordi jeg så at brukeren "fjas" spurte om det samme tidligere i uken

Poenget her er at fasitsvaret kun er en annen måte å beskrive akkurat den samme mengden med vektorer på (planet gjennom origo med normalvektor (1,3,-1).) Din framstilling skiller seg bare fra fasiten ved at man må velge ander parameterverdier for å få samme punkt i planet. F.eks., hvis du velger deg to parametere [tex]s_0[/tex] og [tex]t_0[/tex] så får du en eller annen egenvektor i egenvektorplanet. For å få den samme vektoren i fra fasitens uttrykk må du der velge [tex]s = s_0[/tex] og [tex]t = t_0 - 2s_0[/tex]. Er du med på det?

For å si det litt mer teknisk, hvis to vektorer [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex] er basisvektorer for et vektorrom, så vil også [tex]\vec{a} + \vec{b}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex] (f.eks.) være lineært uavhengige, og spenne ut det samme vektorrommet, og altså også være en basis.

Jeg tror ikke jeg er helt med på at du vil få ut fasitsvaret om du setter dine vektorer inn i en matrise og radreduserer?

Hvorfor fasiten velger akkurat det uttrykket de har gjort vet jeg ikke? Deres uttrykk ser ikke så veldig mye penere ut akkurat. Kanskje de bare har løst systemet på en annen måte? Skal vektorene brukes til noe videre?

[Aleks855]

Nei, det ble vel strengt tatt ingen radreduksjon når jeg gjorde det. Men når du skrev det med å addere den ene med et multiplum av den andre, så tenkte jeg med en gang på Gausseliminasjon, for det er jo et av stegene som faller under det å radredusere.

Men joda, jeg satte det inn i en matrise, og gjorde ett enkelt Gauss-steg, selv om det ikke var en eliminasjon som sådan.

Men nå skjønner jeg i alle fall prosessen! Takk igjen! =)

Og ja, det virker som jeg og fjas går i samme klasse, så beklager at det blir litt dobbelposting. Skal skjerpe meg på å søke før jeg spør