Ligningssystem

[Brahmagupta]

$x-y=61741$
$y-z=14197$
$\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}=12$

Finn en løsning til ligningssettet når x,y og z er positive heltall.

Denne oppgaven er selvfølgelig lettløselig med prøving og feiling, så utfordringen ligger i å finne en løsning uten å faktisk gjøre noe særlig utregninger (uten kalkulator), under forutsetning at det finnes en løsning.

(godkjenner selvfølgelig at man bekrefter sin egen løsning, etter argumentasjonen, med kalkulator, selvom dette ikke egentlig er nødvendig under forutsetningen at det finnes en heltallig løsning)

[Knuta]

hehehe... Har du flere av denne typen oppgaver? Den var like enkel som spørsmålet om hvilken farge hadde Napoleons hvite hest.

[prasa93]

Dersom man opphøyer alle leddene i den siste ligninga med 7, er man på rett vei da?

[Aleks855]

Dersom man opphøyer alle leddene i den siste ligninga med 7, er man på rett vei da?

$(a+b+c{)}^7\ne a^7+b^7+c^7$

Så jeg ville ikke gjort det, nei.

[Per Spelemann]

Løsningsforslag:

Fra de to første ligningene ser vi at x > y > z og at
enten så er x og z partall, mens y er oddetall,
eller så er x og z oddetall, mens y er partall.
Siste ligning gir oss at sistnevnte er tilfelle.
(Jeg antar at x, y og z faktisk er nødt til å være syvendepotenser?!)

7.-roten av y kan ikke være 2 (isåfall blir y-z altfor lite).
7.-roten av y kan heller ikke være større enn 4 (isåfall blir summen av 7.-røttene for stor).
Konklusjon: 7.-roten av y er lik 4.

7.-roten av z kan ikke være 1 (siste siffer til y-z blir isåfall lik 3).
Følgelig er 7.-roten av z er lik 3, og da må 7.-roten av x være 5.

Oppsummert:
x = 5^7, y = 4^7 og z = 3^7.