Tar det på engelsk, siden oppgaven er gitt på engelsk:
A cylindrical hole is bored through the centre of a ball of radius R. If the length of the hole is L, show that the volume of the remaining part of the ball depends only on L and not on R.
Snodig?
Hvorfor?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Vha. av Pytagoras læresetning finner vi at radiusen r av sylinderen gjennom kula er gitt ved formelen
(1) r = kv.rot(R[sup]2[/sup] - (L/2)[sup]2[/sup]).
Ved å rotere området begrenset av x-aksen, linjen x=r og grafen til funksjonen kv.rot(R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]) får vi halvparten av dette romlegemet ("kule med sylinderhull"). Så volumet V av dette romlegemet blir (denne måten å beregne volum på kalles på engelsk for "method of cylindrical shells")
V = 2[itgl][/itgl]2[pi][/pi]x[sub]*[/sub]kv.rot(R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]) dx (nedre integrasjonsgrense a=r og øvre integrasjonsgrense b=R)
= 4[pi][/pi] [(-1/3)(R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])[sup]3/2[/sup]] (x=a=r og x=b=R)
= (4[pi][/pi]/3) (R[sup]2[/sup] - r[sup]2[/sup])[sup]3/2[/sup]
= (4[pi][/pi]/3) [(L/2)[sup]2[/sup]]^(3/2)
= (4[pi][/pi]/3) (L/2)[sup]3[/sup]
= [pi][/pi]L[sup]3[/sup]/6.
(1) r = kv.rot(R[sup]2[/sup] - (L/2)[sup]2[/sup]).
Ved å rotere området begrenset av x-aksen, linjen x=r og grafen til funksjonen kv.rot(R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]) får vi halvparten av dette romlegemet ("kule med sylinderhull"). Så volumet V av dette romlegemet blir (denne måten å beregne volum på kalles på engelsk for "method of cylindrical shells")
V = 2[itgl][/itgl]2[pi][/pi]x[sub]*[/sub]kv.rot(R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]) dx (nedre integrasjonsgrense a=r og øvre integrasjonsgrense b=R)
= 4[pi][/pi] [(-1/3)(R[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])[sup]3/2[/sup]] (x=a=r og x=b=R)
= (4[pi][/pi]/3) (R[sup]2[/sup] - r[sup]2[/sup])[sup]3/2[/sup]
= (4[pi][/pi]/3) [(L/2)[sup]2[/sup]]^(3/2)
= (4[pi][/pi]/3) (L/2)[sup]3[/sup]
= [pi][/pi]L[sup]3[/sup]/6.