Sann.tetthet, Forventning, Variens m.m.

[Razzy]

Løsningsforslag:

a) Vis at k=n

Kravet for at denne funksjonen skal være en sann.tetthet er at: [tex]$$\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)dx = 1} $$[/tex]

Derfor kan vi i dette tilfellet skrive: [tex]$$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} $$[/tex]

[tex]$$\int\limits_0^1 {k{x^{n - 1}}dx = 1} $$[/tex]

Jeg har tenkt følgende i forhold til integreringen:

[tex]$$\int {{x^{n - 1}}dx} $$[/tex]

[tex]$$u = n - 1,\;u^\prime = {{du} \over {dx}} = 1$$[/tex]

(er n en variabel her?)

[tex]$$\int {{x^u}dx} $$[/tex]

[tex]$${1 \over {u + 1}}{x^{u + 1}} + C$$[/tex]

[tex]$${1 \over {\left( {n - 1} \right) + 1}}{x^{\left( {n - 1} \right) + 1}} + C$$[/tex]

[tex]$${1 \over n}{x^n} + C$$[/tex]


Setter inn og får:

[tex]$$k\left[ {{1 \over n}{x^n}} \right]_0^1 = 1$$[/tex]

[tex]$$k\left( {{1 \over n} \cdot {1^n} - {1 \over n} \cdot {0^n}} \right) = 1$$[/tex]

[tex]$${k \over n} = 1$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {k = n}} $$[/tex]


b) Forventning

[tex]$$\mu = E\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x \cdot f\left( x \right)dx = 1} $$[/tex]

[tex]$$E\left( X \right) = \int\limits_0^1 {x \cdot \left( {n{x^{n - 1}}} \right)dx} $$[/tex]

[tex]$$E\left( X \right) = \int\limits_0^1 {n{x^{n - 1 + 1}}dx} $$[/tex]

[tex]$$E\left( X \right) = n\int\limits_0^1 {{x^n}dx} $$[/tex]

[tex]$$E\left( X \right) = n\left[ {{1 \over {n + 1}}{x^{n + 1}}} \right]_0^1$$[/tex]

[tex]$$E\left( X \right) = \left( {{n \over {n + 1}} \cdot {1^{n + 1}}} \right) = \underline{\underline {{n \over {n + 1}}}} $$[/tex]


Varians

[tex]$${\sigma ^2} = Var\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {x - \mu } \right)}^2}f\left( x \right)dx} $$[/tex]

[tex]$$Var\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {x - \mu } \right)}^2}f\left( x \right)dx} $$[/tex]

[tex]$$Var\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( {x - \mu } \right)}^2}\left( {n{x^{n - 1}}} \right)dx} $$[/tex]

Har prøvd en hau med ting herfra; men får aldri fasiten: [tex]$${n \over {n + 2}} - {\mu ^2}$$[/tex]

[tex]$$Var\left( X \right) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {{x^2} - 2x\mu + {\mu ^2}} \right)\left( {n{x^{n - 1}}} \right)dx} $$[/tex]

Bør jeg fylle inn forventningen [tex]\mu[/tex] her? Ble bare styggere og styggere!

[Janhaa]

a) fort og gæli, og bytting av grenser

[tex]k\int_0^1 x^{n-1}dx=(k/n)x^n|_0^1=1[/tex]
dvs
[tex]k=n[/tex]
=======
b)

[tex]\mu=n\int_0^1x*x^{n-1}dx=n\int_0^1x^ndx[/tex]
dvs
[tex]\mu=\frac{n}{n+1}x^{n+1}|_0^1=\frac{n}{n+1} [/tex]
========
c)
[tex]\sigma^2=n\int_0^1(x-\frac{n}{n+1})^2x^{n-1}dx[/tex]

[tex]\sigma^2=n\int_0^1(x^2-2x\mu+\mu^2) x^{n-1}dx[/tex]

[tex]\sigma^2=n\int_0^1(x^{n+1}-2x^n\mu+\mu^2 x^{n-1})dx[/tex]

[tex]\sigma^2=n\left[\frac{1}{n+2}x^{n+2}-\frac{2\mu}{n+1}x^{n+1}+\frac{\mu^2}{n} x^n\right]_0^1[/tex]

[tex]\sigma^2=\frac{n}{n+2}-\frac{2n\mu}{n+1}+\frac{n \mu^2}{n} =\frac{n}{n+2}\,-\,\mu^2[/tex]

[Razzy]

Hvordan løse du siste linje i utregningen din?


[tex]$${\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - {{2n\mu } \over {n + 1}} + {{n{\mu ^2}} \over n}$$[/tex]

[tex]$${\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - {{2n\left( {{n \over {n + 1}}} \right)} \over {n + 1}} + {\mu ^2}$$[/tex]

[tex]$${\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - {{2{n^2}} \over {n + 1}} + {\mu ^2}$$[/tex]

[tex]$${\sigma ^2} = {{n - 2{n^2}\left( {n + 2} \right)} \over {n + 2}} + {\mu ^2}$$[/tex]

[tex]$${\sigma ^2} = {{n - 2{n^3} + 4{n^2}} \over {n + 2}} + {\mu ^2}$$[/tex]


Ellers så forstod jeg alt! Takk Janhaa

[Janhaa]

Hvordan løse du siste linje i utregningen din?
[tex]$${\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - {{2n\mu } \over {n + 1}} + {{n{\mu ^2}} \over n}$$[/tex]
Ellers så forstod jeg alt! Takk Janhaa

sånn
[tex]$${\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - {{2n\mu } \over {n + 1}} + {{n{\mu ^2}} \over n}$$[/tex]

der
[tex]n/(n+1) = \mu[/tex]

[tex]{\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - 2\mu^2 + \mu ^2[/tex]

[tex]{\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - \mu^2 [/tex]

[Razzy]

Hvordan løse du siste linje i utregningen din?
[tex]$${\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - {{2n\mu } \over {n + 1}} + {{n{\mu ^2}} \over n}$$[/tex]
Ellers så forstod jeg alt! Takk Janhaa

sånn
[tex]$${\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - {{2n\mu } \over {n + 1}} + {{n{\mu ^2}} \over n}$$[/tex]

der
[tex]n/(n+1) = \mu[/tex]

[tex]{\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - 2\mu^2 + \mu ^2[/tex]

[tex]{\sigma ^2} = {n \over {n + 2}} - \mu^2 [/tex]

Ah, nå ser jeg det!