Integrasjon

[Saniii]

Hei! Eg har problem med to oppgaver der ein skal finne volumet til ein omdreiingsfigur. Om nokon kan hjelpe meg hadde det vore fint! :)

1. f(x) = sin 2x + 3 , a= 0 , b= 2 [symbol:pi]
V = [symbol:pi] [symbol:integral] (sin 2x + 3)[sup]2[/sup] dx
= [symbol:pi] [symbol:integral] (sin[sup]2[/sup]2x + 6sin 2x + 9) dx
= [symbol:pi] [-0,5 cos[sup]2[/sup] 2x - 3 cos 2x + 9x] , setter inn for a og b, og får 177,65.
Det er feil i følge fasit, så reknar med at eg har gjort ein feil med den ubestemde integralen. Om nokon kan vise meg kva eg har gjort feil her hadde det vore supert!

Slit også med denne: [symbol:funksjon] ( 1- tan x)[sup]2[/sup] , eg veit ikkje korleis eg skal gå fram.

[Janhaa]

første er lik

[tex]V=19\pi^2[/tex]

============

siste integralet

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %29%29%5E2

[Janhaa]

første som ubestemt integral, trykk show steps og du får hele pakka

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %29%29%5E2+

[Saniii]

hmm, takk :) Men eg skjønnar ikkje heilt. Korleis ser ein på den første oppgava at ein skal bruke variabelskifte?

[Nebuchadnezzar]

Feilen din blir når du integrerer [tex]\sin(x)^2 [/tex], og det finnes ulike metoder for å evaluere dette integralet. Den letteste er kanskje å vite at

Det å integrere [tex]\sin(x)^2 [/tex]og [tex]\cos(x)^2[/tex] over et helt antall perioder, er det samme som å integrere 1 over samme periode

Det å integrere [tex]\sin(x)^2 [/tex]og [tex]\cos(x)^2[/tex] over et halvt antall perioder, er det samme som å integrere 1/2 over samme periode

Dette kan vi også se på følgende metode

[tex]I = \int_0^{\pi} \sin^2 x \mathrm{d}x = \int_0^{\pi} \cos^2x \, \mathrm{d}x[/tex]
[tex]2I = \int_0^{\pi} \sin^2x + \cos^2x \, \mathrm{d}x [/tex]
[tex]I = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 \, \mathrm{d}x[/tex]

Hvor i første overgang vi har brukt variabelskifte [tex]u = \pi[/tex].

Eventuelt kan vi huske på at

[tex]\int_0^a f(x) \, \mathrm{d}x = \int_0^a f(a-x) \, \mathrm{d}x[/tex] som gir at

[tex]I = \int_0^\pi \sin^2 x \mathrm{d}x = \int_0^\pi \sin^2(\pi - x) \mathrm{d}x =\int_0^{2\pi} \cos^2x \, \mathrm{d}x[/tex]

Som strengt talt er akkurat samme metode.
Her viser jeg det bare for en periode, men det gjelder også for [tex]n[/tex] perioder, der [tex]n[/tex] er et positivt heltall. Det er ikke vanskelig å bevise, bare å dele integralet opp i to deler, og bruk substitusjon på siste del.
(fra [tex]0[/tex] til [tex](\pi n)/2[/tex] og fra [tex](\pi n)/2[/tex] til [tex]\pi n[/tex])

Den siste metoden som kan brukes for å regne ut [tex]\sin(x)^2[/tex] er å legge merke til at

[tex]\cos(2x) = \cos(x)^2 - \sin(x)^2 = \left( 1 - \sin(x)^2 \right) - \sin(x)^2[/tex]

Slik at [tex]\sin(x)^2 = \frac{1}{2}\left( 1 - \cos(2x)\right) [/tex]

Hvor det siste uttrykket er lettere å beregne enn det første.