Bruke Fourierserie til å finne konvergens

[gundersen]

Hei, i oppgaven så refererer de til et tidligere eksempel der jeg skulle finne Fourier-serien til en "sagtann-funksjon" f(t) med periode 2 [symbol:pi],
der verdien i intervallet [- [symbol:pi] , [symbol:pi] ] er gitt ved
[tex]f(t) = \pi - \left| t \right|[/tex]
Her fant man Fourier-serien til å bli:
[tex]f(t) = \frac{\pi }{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty {\frac{4}{{\pi (2k + 1)}}} \cos ((2k - 1)t)[/tex]

Også er det oppgaven jeg sliter med:
Bruk resultatet til å vurdere:
[tex]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{(2n - 1)}^2}}}} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + .......[/tex]
Er egentlig ganske blank på hvordan jeg skal gå fram, har kluret litt fram og tilbake en stund nå men Fourier-rekker er ganske nytt så jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal bruke dette til å finne summen

EDIT:
Svaret er [tex]\frac{{{\pi ^2}}}{8}[/tex]

[Per Spelemann]

Jeg har en følelse av at den oppgitte Fourier-rekka er feil. Setter vi inn for t = 0, finner vi:

[tex] \pi / 2 \, = \, \sum_1^\infty \, \frac{4}{ \pi (2k + 1) } \, = \ \infty[/tex]

Umulig!


Jeg vil tro det skal være:

[tex] f(t) \, = \, \frac{\pi}{2} \, + \, \sum_{k=1}^\infty \, \frac{4 \cdot \cos( (2k-1)t ) }{ \pi (2k - 1)^2 } [/tex]

[gundersen]

Aw, sorry! du har rett, det var jeg som skrev av oppgava feil Men er uansett den rekka du skrev nå jeg har prøvd å bruke. Satt stor pris på om du har noen tips til hvordan jeg skal gå fram!

[Per Spelemann]

Prøv å sette inn for t = 0.

[gundersen]

[tex]f(0) = \frac{\pi }{2}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{4}{{\pi {{(2k - 1)}^2}}}} [/tex]

[tex]\pi = \frac{\pi }{2} + \frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{{(2k - 1)}^2}}}} [/tex]

[tex]\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{{(2k - 1)}^2}}}} = (\pi - \frac{\pi }{2}) \cdot \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} \cdot \frac{\pi }{4} = \frac{{{\pi ^2}}}{8}[/tex]

Tusen takk!

EDIT:skrivefeil