Ekstremalpunkter, to variable (LØST)

[mafaq]

Hei
Sitter og leser på hvordan man skal finne ekstremalpunkter med to variable, og henger med på det meste av det. En ting stusser jeg derimot på, fra "Matematikk for økonomer og samfunnsfag": "Anta at f(x,y) er en deriverbar funksjon som har maksimum eller minimum i et indre punkt f(x0,y0) i sitt definisjonsområde. Da er (x0,y0) et stasjonært punkt". Dette trodde jeg jeg hadde forstått, helt til jeg så tall eksemplet som var lagt med: "Gitt f(x,y)=x^3 -x^2 -y^2 +3, Df: 0=<x=<1 og 0=< y =< 1
Vi finner først de stasjonære punktene med derivasjon ....
Dette gir oss punktene (0,0) og (2/3 , 0). Ingen av disse er i midlertid indre punkter."

Spørsmålet mitt er så, hvorfor er ikke disse punktene indre punkter? Såvidt jeg kan forstå ligger både x og y verdiene for disse punktene innenfor definisjonsmengden, som er hva jeg har forstått indre punkter er?

[Nebuchadnezzar]

Disse punktene ligger på randen til funksjonen, og dermed ikke i det indre. Trur det ble rett.

[wingeer]

Disse punktene ligger på randen til funksjonen, og dermed ikke i det indre. Trur det ble rett.

Riktig dette.
Det kan du egentlig se ved å tegne opp definisjonsområdet, samt tegne inn punktene. Da vil du se at de begge ligger på randen.

[mafaq]

Okei, fant det mer intuitivt at punktene som lå på kanten(=randen?) av tegninga skulle være med og enn ikke, men takk for oppklaringen=)

[Nebuchadnezzar]

Syntes boken din ikke bruker spesielt gode begrep eller forklaringer, men det er nok bare meg.

Siden definisjonsmengden din er [tex]0 \leq x \leq 1[/tex] og [tex]0=< y \leq1 [/tex] så er alle punktene på randen med i definisjonsmengden.

Om ekstremalpunktene dine befinner seg på randen av definisjonsmengden eller inne i definisjonsmengden spiller for så vidt liten rolle.

Men hvordan finner en slike punkter? Jo en ser på de partiellderiverte, og ser når disse er null. Men denne metoden tar ikke hensyn til randen, og derfor må randen sjekkes eksplisitt.

Dette kan for eksempel gjøres ved å teste om [tex]f(x,0) \, , \, f(x,1)\, , \, f(0,y)[/tex] og [tex]f(1,y) [/tex] har noen ekstremalpunkter. Så kan en sjekke disse mot de stasjonære punktene en fant via de deriverte, og vurdere hva som er lokale og globale maks / min og evnt saddelpunkt.