Skalarprodukt

[malef]

Vektorene [tex]\vec{a}=[8,-3][/tex] og [tex]\vec{b}=[1,5][/tex] spenner ut et parallellogram. Tegn parallellogrammet og finn arealet.

Jeg har funnet at [tex]|\vec{a}|=\sqrt{73}[/tex] og [tex]|\vec{b}|=\sqrt{26}[/tex]. For å finne høyden i parallellogrammet antar jeg at jeg må finne en vektor der skalarproduktet=0. Hvordan gjør jeg det?

[Nebuchadnezzar]

Vel et paralellogram er jo egentlig bare et forskjøvet rektangel, og hva er arealet av et rektangel vanligvis?

lengde ganget bredde

Mer generellt så har vi at arealet av et området utspent av vektorene a og b er gitt som

[tex]A = \left| a \times b \right| = \sin(\theta) a \cdot b[/tex]

Hvor [tex]\theta[/tex] er den minste vinkelen mellom [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] =)

Som en sidenotis så er ikke kryssproduktet definert i [tex]\mathbb{R}^2[/tex], men vi kan komme rundt problemet ved å skrive vektorene som [tex](x,y,0)[/tex] og [tex](x_1,y_1,0)[/tex]

[malef]

Takk for svar!

[tex]A = \left| a \times b \right| = \sin(\theta) a \cdot b[/tex]

Med denne formelen får jeg samme svar som fasiten, nemlig 43. Men må innrømme at jeg ikke helt forstår hvordan formelen fremkommer

Tenkte først at lengde ganger bredde måtte gi riktig svar, men det gjorde det ikke. Og formelen for arealet av et parallellogram er jo [tex]A=gh[/tex]?

Edit: Formelen er vel rett og slett arealsetningen ganger to

[Nebuchadnezzar]

Ja, du kan også se på det på den måten. Dersom du ønsker å undersøke om vinkelen har en betydning er det god trening å utforske det i geogebra.

Du kan eksempelvis se om du klarer å lage noe slikt som dette

[2357]

Som en sidenotis så er ikke kryssproduktet definert i [tex]\mathbb{R}^2[/tex], men vi kan komme rundt problemet ved å skrive vektorene som [tex](x,y,0)[/tex] og [tex](x_1,y_1,0)[/tex]

Huff. Determinanter burde innføres tidligere. Jeg pleier å jukse ved å bruke en determinant for å slippe å huske hvordan kryssproduktet ser ut. Det å gå fra et enkelt determinantproblem til et kryssprodukt høres ubehagelig ut.

[Nebuchadnezzar]

[malef]

Wow! Sitter akkurat her og fikler med geogebra for å få til disse gliderne, men det går litt trått. Tusen takk for hjelpen!

[malef]

Lå og grublet på denne oppgaven i natt, og fant ut av metoden jeg opprinnelig hadde tenkt på.

Må da finne punktet E. Tar utgangspunkt i at [tex]\vec{CE} || \vec{CD}[/tex]. Dvs. at [tex]\vec{AE}=\vec{b}+t \cdot \vec{a}=[8t+1,5-3t][/tex].

Nå kan jeg benytte meg av at skalarprodduktet av [tex]\vec{AE} \cdot \vec{AB}=0[/tex].

[tex][8t+1, 5-3t] \cdot [8, -3]=0[/tex]
[tex]t=\frac{7}{73}[/tex]

[tex]\vec{AE}=\frac{7}{73} \cdot [8t+1,5-3t][/tex]
[tex]E(1,7671, 4,7123)[/tex]

Nå er det bare å finne [tex]|\vec{AE}|=\sqrt{25,3284}[/tex] og gange med [tex]\sqrt{73}[/tex] og få [tex]42,99\approx43[/tex].

Legger til denne ekstra løsningsmetoden for min egen del slik at jeg kan gå tilbake og se senere ... Tusen takk for hjelpen - lærte en hel del av denne tråden!