Volum av et snodig omdreiningslegeme

[Jerry]

Området innenfor trekanten med hjørner (0,-1), (1,0) og (0,1) roteres om linjen x=2. Finn volumet av legemet som oppstår på denne måten.

Hvordan gjør jeg dette, vet jo ikke hvilken funksjon denne trekanten svarer til.

[ingentingg]

Tegn det i et koordinataksen. Det kan bli enklere viss du bruker substiusjonen u= x-2 og v = y slik at du kan rotere om v-aksen istedenfor x =2.

Bruk sirkelskivemetoden og integrer over de to funksjonene:
Svaret blir, med substitusjonen og symmetri om u-aksen, u = x-2

Volumet = [itgl][/itgl]2[pi][/pi](2-(v+1))^2dv

Nedre grense er 0 og øvre grense 1.

Svaret blir da:
2[pi][/pi]/3

[Jerry]

Beklager, det der skjønte jeg ikke. Greit at man vil rotere om y-aksen, men jeg skjønner ikke hvordan du kommer frem til (2-(v+1)) som f(x).

[AnneS]

Jeg tror ikke svaret 2[pi][/pi]/3 er rett [pi][/pi]

[ingentingg]

Ser at det gikk litt fort i svingen når det gjaldt grensene og integralet.

Siden det er symmetri over og under u-aksen kan man rekne ut bare den ene halvdelen og gange med to.

Den biten som er over grafen er begrenset av u-aksen u =2 og v+1 aksen.
Arealet av en skive med høyde dv er da [pi][/pi](r1^2-r2^2). r1 er ytre diameter og r2 er diameter av indre sirkel. I dette tilfellet er r1 = 2 og r2 = v+1
Volumet blir da når man integrerer over v fra 0 til 1.

∫2π(2^2-(v+1)^2)dv

INtegrer opp og får: 2[pi][/pi][4v-1/3(v+1)^3] innsatt grensene 1 og 0.

Svaret blir da: 10[pi][/pi]/3

Tror det skal være korrekt nå.
Beklager at det gikk litt fort første gang.[pi][/pi]