Asymptotisk stabilitet (Liapunov)

[krje1980]

Hei.

Er litt usikker på følgende oppgave:

Gitt systemet:

[tex]\dot{x} = y - x^3[/tex]

[tex]\dot{y} = -x + 2x^3 -2y[/tex]

Bruk Liapunov funksjonen [tex]V(x,y) = x^2 + y^2[/tex] til å vise at origo i [tex](x,y)[/tex]-planet er asymptotisk stabilt.


LØSNINGSFORSLAG:

OK, så familien av kurver:

[tex]V(x,y) = x^2 + y^2 = \alpha[/tex], [tex]0 < \alpha < \infty[/tex]

er et topografisk system. Vi har da at:

[tex]\dot{V}(x,y) = 2x\dot{x} + 2y\dot{y}[/tex]

[tex]= 2x(y - x^3) + 2y(-x + 2x^3 -2y) = 2xy - 2x^4 - 2xy +4x^{3}y -4y^2 = -2x^4 + 4x^{3}y - 4y^2[/tex]

For at vi skal ha asymptotisk stabilitiet, må [tex]\dot{V}(x,y) < 0[/tex] for alle punkter utenom origo. Men jeg kan ikke se at dette stemmer her. Setter vi f.eks. [tex]x = -5[/tex], [tex]y = -5[/tex], så er [tex]\dot{V}(x,y) > 0[/tex]. Så her må jeg gjøre et eller annet feil.

Setter stor pris på hjelp/tips!

[krje1980]

Glem det, jeg fant ut av det . Leste litt for fort gjennom seksjonen i kapitlet. Det er ikke nødvendig at [tex]\dot{V}(x,y) < 0[/tex] i hele (x,y)-planet. Så lenge vi kan definere et åpent nabolag, [tex]N_{\mu}[/tex] rundt origo hvor ulikheten holder, så oppfylles stabilitetskravet. I dette tilfellet oppnår vi dette ved å velge [tex]\mu = \sqrt{2}[/tex]