Sette opp differensialligning - problem med en konstant

[fjas]

Følgende er en skisse som skal forestille to stk. vanntanker med rør imellom dem, som frakter saltlake:


Når tid (t) = 0, er det 100 liter rent vann i begge tanker.

Meningen er å sette opp 2 stk. differensialligninger, som så skal inn i en koeffisientmatrise. Dette har jeg forsøkt, men jeg ble sittende med en konstant (3 dt som vist på skissen) som ødelegger all morroa.

Hva er det jeg har gjort galt?

EDIT: Oppdatert bilde (inneholdt en skriveleif)

[Nebuchadnezzar]

Feilen din er at du ikke bruker imgur når du skal laste opp bildene dine

www.imgur.com er en mye bedre opplastingside. Når bildet er lastet opp trenger du bare å inkludere den direkte linken med [img] tagger forran og bak.

[fjas]

Oppdatert.

[fjas]

Ingen som vet noe?

[Masamune]

3-tallet må vel ganges med 0,04. x2 bør ganges med 1 og ikke 2 i likning 1. Ellers ser det riktig ut.

[fjas]

3-tallet må vel ganges med 0,04. x2 bør ganges med 1 og ikke 2 i likning 1. Ellers ser det riktig ut.

Takk for tipset om skrivefeilen, nå er den rettet!

Angående å gange 3 liter/min med 0,04 kg/liter er ikke åpenbart for meg hvorfor:



Hvor hører egentlig 0,12 kg/min hjemme hen?

[Masamune]

Jeg tolker det som at x1 er antall kg saltlake i tank 1. Da er $\frac{dx1}{dt}$ lik endringen i antall kg saltlake per tid i tank 1. Det kommer inn 0,12 kg pr min fra venstre, $\frac{x2}{100}$ kg pr min fra tank 2, og den mister $\frac{x1}{100}\cdot 4$ kg pr min. Da får man$\frac{dx1}{dt}=0,12+\frac{x2}{100}-\frac{4x1}{100}$.

[fjas]

Jeg tolker det som at x1 er antall kg saltlake i tank 1. Da er $\frac{dx1}{dt}$ lik endringen i antall kg saltlake per tid i tank 1. Det kommer inn 0,12 kg pr min fra venstre, $\frac{x2}{100}$ kg pr min fra tank 2, og den mister $\frac{x1}{100}\cdot 4$ kg pr min. Da får man$\frac{dx1}{dt}=0,12+\frac{x2}{100}-\frac{4x1}{100}$.

Men, hvordan kan jeg lage en koeffisientmatrise av dette, så lenge det er en konstant der?

[Masamune]

Du kan lage en koeffisientmatrise på vanlig vis, og så plusse på en konstant vektor. Altså at man får $\dot{x}=Ax+b$ istedenfor $\dot{x}=Ax$, der $\dot{x}$ er den tidsderiverte av x. Vil det være et problem? Jeg ser ingen annen måte å gjøre det på.

[fjas]

Jeg tolker det som at x1 er antall kg saltlake i tank 1. Da er $\frac{dx1}{dt}$ lik endringen i antall kg saltlake per tid i tank 1. Det kommer inn 0,12 kg pr min fra venstre, $\frac{x2}{100}$ kg pr min fra tank 2, og den mister $\frac{x1}{100}\cdot 4$ kg pr min. Da får man$\frac{dx1}{dt}=0,12+\frac{x2}{100}-\frac{4x1}{100}$.

Årsaken til at jeg "foretrekker" x = Ax er fordi det ikke var noen eksempler for x = Ax + b, for denne typen oppgave.

Dette er nå et inhomogent system (?), så jeg vet ikke hvordan jeg skal løse det. Jeg har nå sittet i 9 timer, men kom ingen veg.

Jeg har prøvd å følge andre eksempler som tar for seg slike systemer - disse har g(t) = [ e, e ], men da blir det ikke riktig.
____________________________________________________________

Fasit: x[sub]1[/sub] = 4 - 3e[sup]-0,02t[/sup] - e[sup]-0,06t[/sup] og x[sub]2[/sub] = 4 - 6e[sup]-0,02t[/sup] + 2e[sup]-0,06t[/sup]

[Masamune]

Her står det hvordan man løser slike:
http://www.unf.edu/~mzhan/chapter4.pdf

Den har en ganske grei gjennomgang med eksempler. Du kan si fra hvis det er noe der du ikke skjønner. Nå vet jeg ikke hva slags kurs du tar, så det kan hende dette er litt overkill. Jeg vet dessverre ikke om noen enklere måte å gjøre det på.

[fjas]

Nå har jeg tittet på PDF-fila du lenket til, men det ble litt kryptisk.

Følgende er det jeg har til nå:

A = $\left(\begin{array}{cc}-0,04& 0,01\\ 0,04& -0,02\end{array}\right)$

g = $\left(\begin{array}{c}0,12\\ 0\end{array}\right)$

Egenverdier: λ[sub]1[/sub] = -0,05236, λ[sub]2[/sub] = -0,00764

Egenvektorer: k[sub]1[/sub] = [1, -0,809] k[sub]2[/sub] = [1, 0,309]

(Det spørs om egenverdiene er riktige, siden fasiten opererer med andre λ-verdier.)

Fra boka, eksempel 3.1 -> eksempel 2.5: Man må finne "fundamental matrix", denne så ut til være samme som egenvektormatrisen:
$\left(\begin{array}{cc}1& -0,809\\ 1& 0,309\end{array}\right)$
ganget med e[sup]t[/sup] eller e[sup]2t[/sup] ?

Herifra ble det uklart.

[Masamune]

Matrisa blir
$\left(\begin{array}{cc}-0,04& 0,01\\ 0,04& -0,04\end{array}\right)$

Da får du egenverdiene -0,06 og -0,02 som stemmer med fasiten din.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ei ... 0.04%7D%7D

For å finne fundamentalmatrisa, se på case 1 i thm 2.1 (s. 6). Så bruker du teorem 3.1 på side 18 for å finne den partikulære løsningen. For eksempler på bruk av teoremet kan du bare bla litt ned. Løsningen din blir summen av løsningen av den homogene likninga pluss partikulærløsningen. Det kan hende at det er en enklere metode, men dette er uansett generell teori som er fin å kunne.

[fjas]

Til Masamune: Takk for at du tok deg bryet med å komme med så gode og veiledende svar!

Jeg bestemte meg bare for å levere, siden dette ble såpass på overtid. Det ble riktignok en halvferdig innlevering, men bedre enn ingenting.

[Masamune]

Bare hyggelig. Synd at det ikke ble helt ferdig.