Vrien geometri-oppgave

[Chenrik]

Hei!

Jeg har holdt på med denne oppgaven lenge nå, og kommet fram til at jeg ikke kommer fram med løsningen uten hjelp. Derfor håper jeg at noen her kan hjelpe

Oppgaven lyder som følger:

Hvis vi trekker rette linjer fra hvert hjørne av en trekant til midtpunktet på den motstående siden, får vi delt trekanten i seks små trekanter.

Bevis at alle de seks trekantene har det samme arealet.

Vink: Se etter trekanter med lik grunnlinje og høyde.


Tusen takk for alle svar på forhånd!

[Brahmagupta]

http://bildr.no/view/1107627
Hvis man først betrakter en trekant med inskrevne medianer vil trekanten deles inn i 6 trekanter. På AB med midtpunkt D får man trekantene AOD og BOD. Disse har like store arealer siden de har like lang grunnlinje og høyde. Det samme gjelder for BC og AC.

Se nå på trekant ADO og ECO. Kaller vinkel AOD og COE er toppvinkler og like store, kaller disse u. [tex]\normalsize M_A[/tex] betegner medianen fra A til motstående side.
[tex]\normalsize A_{ADO}=\frac12\times \frac13M_C \times\frac23M_A\times \sin{u}[/tex]
[tex]\normalsize A_{ECO}=\frac12\times \frac23M_C \times\frac13M_A\times\sin{u}[/tex]
[tex]\normalsize A_{ADO}=A_{ECO}[/tex]
Det følger at alle de 6 trekantene har like stort areal.

Dette er en del av et lengre bevis, så bare overse de unødvendige linjene på figuren. Beviser benytter mediansetningen.

[Chenrik]

Tusen takk for så kjapt svar Brahmagupta!

Ser at du har bevist det, men kanskje på en "litt" vanskeligere måte en det som er beregnet på oppgaven.

Jeg går førsteåret på videregående og har T-matte, og svaret ditt ligger nok derfor litt over mitt pensum. Denne oppgaven ligger i geometri kapittelet og er derfor ment løst med formlikhet og/eller pytagoras.

Om du ser en annen -litt enklere- måte denne kan løses på så ville det hvert meget behjelpelig!

Men ellers tusen takk for responsen!