Vise faktisk feil ved trappesmetoden

[Nebuchadnezzar]

Oppgaven ber meg regne ut trappesmetoden for integralet

[tex]\int_0^1 \sqrt{x} \, \mathrm{d}x[/tex]

med [tex]T_2 \, , \, T_4 \, , \, T_8[/tex] og [tex]T_{16}[/tex]. Dette er meget enkelt, en kan vise at dersom vi deler innn intervalet i n deler med trappesmetoden blir arealet. Eg

7. Find [tex]T_2 \, , \, T_4 \, , \, T_8[/tex] and [tex]T_{16}[/tex] for
[tex]\int_0^1 \sqrt{x} \, \mathrm{d}x[/tex], and find the actuall errors
in these approximations. Do the errors decrease like [tex]1/n^2[/tex] as [tex]n[/tex] increases? why?

Etter litt regning kommer jeg frem til

[tex]T(n) \, = \, \frac{1}{n} \, \left( -\frac{1}{2} \, + \, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{i} \right)\,,[/tex]

som stemmer.

Det neste spørsmålet var å vise hvorfor den faktiske feilen avtar med
[tex]1/n^2[/tex] når vi dobbler [tex]n[/tex].

Dette hadde jeg problemer med å vise siden [tex]f^{\prime\prime}(x)[/tex] ikke er bundet på intervalet. Noen tips? Dersom f var bundet kunne jeg vel bruke at den maksimale feilen er gitt som

[tex]\text{feil} = K\frac{(b-a)^3}{12n^2}[/tex] hvor [tex]|f^{\prime\prime}(x)|\leq K[/tex]

[espen180]

Tror de bare ber deg om å regne ut integralet eksakt og sammenligne med tilnærmingene.

[Per Spelemann]

Jeg kan ta feil, men har på følelsen at feilen avtar som:

[tex] \frac{1}{ n^{3/2} } [/tex]

Sammenlign f.eks. feilen for [tex]n[/tex] lik 4.000 og 40.000.

Forholdet mellom dem er:

[tex] \frac{ E(4.000) } { E( 40.000) } = 31,58 [/tex]

Dette er ikke så langt unna:

[tex]10^{1,5} = 31,62[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Hahaha, jeg kom frem til det samme. Plottet en haug md punkter
i geogebra og kjørte regresjonsanalyse på den

kom frem til [tex]\frac{1}{5} \frac{1}{x^{3/2}}[/tex]
hvor bildet ligger her http://i.imgur.com/tYPew.png

Men hvordan skal jeg vise dette eksplisitt? =) Tusen takk for svar =)

[Per Spelemann]

Feilen vil vel være større enn:

[tex] T_{2n} - T_n [/tex]

Forhåpentligvis er denne differansen større enn

[tex] \frac{ K }{ n^{3/2} } [/tex]

for en eller annen [tex]K \, > \, 0[/tex].

[Per Spelemann]

Jeg har sett nærmere på oppgaven. Det er nok ikke nødvendig å gå veien om

[tex] T_{2n} - T_n [/tex]

slik som jeg foreslo tidligere.

Med forbehold om at mine noe rotete utregninger ble riktige, så kan du ta utgangspunkt i [tex]E( n )[/tex] og bruke at:

[tex] \sum_{i=1}^n \sqrt{ i } \, < \int_1^{n+1} \sqrt{x} \, \mathrm{d}x \, - \, \frac{ \sqrt{n+1} - \sqrt{1} }{ 2 }[/tex]

[Nebuchadnezzar]

å føler jeg meg litt dum her, er et eller annet som bare ikke klikker for meg med denne oppgaven. Føler meg rett og slett dum.

Bare for å oppsumere så langt: Den faktiske feilen er gitt som

[tex]E(n) \, = \, \int_{0}^{1} \sqrt{x}\,\mathrm{d}x \, - \, T(n) \, = \, \frac{2}{3} \, - \, \frac{1}{n} \, \left( -\frac{1}{2} \, + \, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{i} \right)[/tex]

Så er målet mitt å vise at

[tex]E(2n) - E(n) = \frac{K}{n^{3/2}}[/tex] når [tex]n[/tex] blir stor ?

Dersom det er det, får i det minste jeg noe skikkelig grisete på maple.
Dog får jeg [tex]n^{3/2}[/tex] i nevner. Jeg brukte tilnærmingen til Spelemann for å bli kvitt summetegnet.

Slik at

[tex]E(2n) - E(n) \approx P(2n) - P(n) = -\frac{1}{24}\,{\frac {6\,\sqrt{n} - \sqrt {2}+8\,\sqrt {2}\sqrt {2\,n+1}n + \sqrt {2}\sqrt {2\,n+1}+4-16\,\sqrt {n+1}n-4\,\sqrt {n+1}}{{n}^{3/2}}}[/tex]

[Per Spelemann]

Målet er vel heller å vise at:

[tex]E(n) \, > \, \frac{ K }{ n^{3/2} } [/tex]

Da kan jo ikke feilen avta som [tex] 1 / n^2 [/tex].


wolframalpha.com-fasit:
[tex] E(n) \, \cdot \, n^{3/2} \, > \, 1/6[/tex]

[Per Spelemann]

Det kan se ut som at espen180 har et poeng. Jeg fant samme oppgave i calculus-boka mi, og der var det et kalkulator-symbol ved siden av oppgava.

I fasit stod dessuten følgende tvilsomme forklaring:

Errors do not decrease like [tex]1/n^2[/tex] because the second derivative of [tex]f(x) = \sqrt{x} [/tex] is not bounded on [tex][0, \, 1][/tex].

Er det noen som vet om vi enkelte ganger faktisk kan argumentere på den måten? (F.eks. ubegrenset annenderivert som alltid har samme fortegn…)

Men oppgava er interessant: Den gir et eksempel hvor feilen ikke avtar som [tex]1/n^2[/tex], og da kan det være kjekt med et håndfast bevis framfor numeriske indisier.


OPPDATERING

Det ser ut til å finnes en atskillig enklere framgangsmåte:
Bruk at feilen vil være større enn feilbidraget fra første intervall!

[Per Spelemann]

Hvis du skal sammenligne med

[tex] 1/4 = \frac{ 1 / (2n)^2 }{ 1 / n^2 } [/tex],

så er det vel greiere å undersøke om

[tex] E(2n) / E(n) \, > \, 1/4[/tex].


Ellers vil jeg nok tro at regresjonsanalysen din er et godt nok numerisk argument.


Her er forøvrig et enkelt bevis:

Feilen vil være større enn feilbidraget fra første intervall (pga. konkav funksjon). Dermed blir:
E(n) > 2/3 · n[sup]-1,5[/sup] - 1/2 · n[sup]-0,5[/sup] · n[sup]-1[/sup] = n[sup]-1,5[/sup] / 6