Drøfting av sammensatte trigonometriske funksjoner

[Arctagon]

Fra boka:

Vi har gitt funksjonen [tex]f(x)=\cos^2x-\cos x-1[/tex], der [tex]x \in [0, 2\pi>[/tex] (vet ikke helt hva koden er til det siste symbolet).
Finn funksjonens nullpunkter, toppunkter og bunnpunkter.

Vi hopper til topp- og bunnpunktene.

[tex]f^\prime(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) - (-\sin x) = -2\cos x \sin x + \sin x[/tex]

Setter [tex]f^\prime(x) = 0[/tex]

[tex]-2\cos x \sin x + \sin x = 0[/tex]

[tex]\sin x(-2\cos x + 1) = 0[/tex]

[tex]\sin x = 0[/tex] eller [tex]-2\cos x = -1[/tex]

[tex]\sin x = 0[/tex] eller [tex]cos x = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x = n \cdot \pi[/tex] eller [tex]x = \pm \frac{\pi}{3} + n \cdot 2\pi[/tex]

Waiwaiwait... sin x = 0 ble til x = n * [symbol:pi]? Hvordan skjedde det? Noen ganger gjør boka litt vel store hopp. Jeg vet at den generelle løsningen til sinus er
[tex] x = x_0 + n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = \pi - x_0 + n \cdot 2\pi[/tex], der x[sub]0[/sub] er vinkelen som kommer av sin[sup]-1[/sup](motsatt side).
I dette tilfellet blir det [tex]x = n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = \pi + n \cdot 2\pi[/tex]. Ved å analysere det, skjønner jeg at det blir [tex]x = n \cdot \pi[/tex], men jeg vet ikke hvordan det blir slik ved regning. Dette er det første spørsmålet mitt.

Videre i boka har vi:

Vi varierer n og velger passende x-verider.

Da får vi [tex]x \in \left(0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}\right)[/tex] (skal egentlig være måkeparenteser, men ser ikke ut som forumet tar den koden). Vi tegner fortegnslinja for [tex]f^\prime(x)[/tex].

Også slenger de opp fortegnsskjema og leser av den. De sier ingenting om hvordan de finner ut om funksjonen er negativ mellom nullpunktene. Mulig det er mening at jeg skal vite dette fra R1 eller 1T (husker ikke i hvilken vi begynte med fortegnsskjema). Finnes det noen enkel måte å finne ut av det på? Finnes det alternative måter? Dette er da mitt andre spørsmål.

Tusen takk for all hjelp.

[Vektormannen]

1) Som du sier, ligninga [tex]\sin x = a[/tex] har generell løsning slik du beskriver. Her er [tex]x_0 = 0[/tex] (f.eks.) og vi får [tex]x = 0 + n \cdot 2 \pi[/tex] eller [tex]x = \pi - 0 + n \cdot 2\pi = \pi(2n + 1)[/tex]. Men nå ser vi at i den ene ligningen får vi ut alle partallige multipler av [tex]\pi[/tex], og i den andre får vi ut alle oddetallige multipler av [tex]\pi[/tex]. Totalt sett får vi ut alle multipler av [tex]\pi[/tex]. Det kan vi like godt komprimere til én ligning: [tex]x = k \cdot \pi[/tex], for alle k.

2) De to faktorene du må finne ut fortegnet til er [tex]\sin x[/tex] og [tex]1 - 2\cos x[/tex]. Den første antar jeg er grei, der ser du på enhetssirkelen og avgjør når sinus er positiv og negativ. For den andre faktoren kan du f.eks. sette inn en x-verdi i hvert intervall mellom nullpunktene. Den skifter jo bare fortegn i nullpunktene, så hvis du f.eks. finner ut at den er negativ mellom 0 og det første nullpunktet, så vil det gjelde i hele det intervallet. Alternativt kan du se på når [tex]\cos x[/tex] er positiv og negativ i enhetssirkelen, og på den måten avgjøre når [tex]1 - 2 \cos x[/tex] er positivt og negativt.

[Arctagon]

Okay, så den eneste måten å gjøre det på er å analysere og bare sette det lik n * [symbol:pi]? Greit.

Takk for forklaringene! Dette hjalp veldig.