Derivasjon, eksponentialfunksjon

[malef]

[tex]f(x)=\frac{1}{\ln2}2^x-x[/tex]

Svaret er i følge fasit [tex]f^,(x)=2^x-1[/tex]

Jeg roter med å skrive om funksjonen slik: [tex]f(x)=\frac{2^x}{\ln2}-x \ \Leftrightarrow \ 2^x \cdot (\ln2)^{-1}-x[/tex]

Ser ikke hvordan jeg skal få dette til å bli i nærheten av fasitsvaret.


Ville vært veldig takknemlig om noen kunne vise hvordan jeg skal gå frem

[Vektormannen]

Hvordan går du så frem for å derivere da? Så langt har du jo bare skrevet om funksjonen litt. Jeg ser ikke helt grunnen til omskrivingen? Husk at [tex]\frac{1}{\ln 2}[/tex] bare er en konstant.

(Der du har skrevet ekvivalenspil skal du forresten ha et likhetstegn i stedet )

[malef]

Det jeg mente å skrive, var [tex]f(x)=\frac{2^x}{\ln2}-x \ \Leftrightarrow \ f(x)=2^x \cdot (\ln2)^{-1}-x[/tex]. Det er vel ok? Takk for at du påpeker disse tingene også, forresten

Jeg skjønner ikke helt hva jeg skal gjøre med konstanten, og det er derfor jeg har skrevet om funksjonen.

Jeg får fasitsvar om jeg gjør

[tex]f^,(x)=\frac{1}{\ln2}2^x \cdot \ln2 -1=2^x-1[/tex]

Da har jeg ganget med [tex]\ln2[/tex] etter formelen [tex](a^x)^,=a^x \cdot \ln a[/tex]

Så det betyr vel at konstanten bare kan strykes?

[Vektormannen]

Det er slik det skal gjøres ja, konstanten holdes utenfor:

[tex]f^\prime(x) = \frac{1}{ln 2} \cdot (2^x)^\prime - x^\prime = \frac{1}{\ln 2} \cdot \ln 2 \cdot 2^x - 1 = 2^x - 1[/tex].

Omskrivingen din har egentlig ikke noe med saken å gjøre?

[tex]f^\prime(x) = (\ln 2)^{-1} \cdot (2^x)^\prime - x^\prime = (\ln 2)^{-1} \cdot \ln 2 \cdot 2^x - 1 = 2^x - 1[/tex]

EDIT: Altså, dette er ikke noe annerledes enn om du skulle derivert [tex]f(x) = \frac{1}{2}x^2[/tex]. Da får du [tex]f^\prime(x) = \frac{1}{2} \cdot (x^2)^\prime = \frac{1}{2} \cdot 2x = x[/tex].

[malef]

Takk for hjelpen! Nå som jeg vet at konstanten skal holdes utenfor, ser jeg at omskrivningen var helt unødvendig. Nå er jeg klar for å øve videre

[Vektormannen]

Ah, da misforsto jeg deg litt. Det er en veldig grunnleggende regel som det er viktig å huske på. Generelt: [tex](cf(x))^\prime = c f^\prime(x)[/tex]. Når du derimot har et produkt hvor flere faktorer er funksjoner av [tex]x[/tex], da må du benytte produktregelen (hvis du kjenner til den.)

[malef]

Produktregelen er jeg ikke kommet til ennå, men den kommer snart Tusen takk for hjelpen!