Kjeglesnitt (matriseregning)

[JKS]

Hvilket kjeglesnitt er gitt ved likningen:

3x[sup]2[/sup] + 3y[sup]2[/sup] + 2xy = 9

x[sup]T[/sup]Ax - 9 = 0
Den karakteristiske ligningen gir oss egenverdiene 4 og 2.
Disse gir igjen egenvektorene [1,1][sup]T[/sup] [-1,1][sup]T[/sup], men disse har ikke lengde ||1||, hva gjør jeg videre?

[Solar Plexsus]

Du må normalisere egenvektorene, dvs. dele dem med [rot][/rot]2. Da får du egenvektorene [1/[rot][/rot]2, 1/[rot][/rot]2][sup]T[/sup] og [-1/[rot][/rot]2, 1/[rot][/rot]2][sup]T[/sup].

[JKS]

Åja, akkurat, men hvordan går jeg nå fram for å finne kjeglesnittet?
Må man innføre nye koordinater?

[JKS]

Innførte nykoordinater jeg.
Får da x'[sup]T[/sup]Dx' - 9 = 0

Kommer da frem til likningen 4x'[sup]2[/sup] + 2y'[sup]2[/sup] - 9 = 0
4x'[sup]2[/sup] + 2y'[sup]2[/sup] = 3[sup]2[/sup]

Kan det stemme, er det en sirkel? Sliter litt når jeg skal skissere den.

[Solar Plexsus]

Du kommer fram til likningen

4x'[sup]2[/sup] + 2y'[sup]2[/sup] = 9

som er ekvivalent med

(x'[sup]2[/sup] / (3/2)[sup]2[/sup]) + (y'[sup]2[/sup] / (3/[rot][/rot]2)[sup]2[/sup]) = 1.

Dette er likningen for en ellipse med sentrum i origo der den store aksen har lengde 3 og den lille aksen har lengde 3[rot][/rot]2.