Diff.lign.

[Jerry]

dy/dx = 2 + e[sup]y[/sup] - er dette en første ordens linerær diff.lign.?
De har jo formen dy/dx + p(x)*y = q(x) - og jeg gjenkjenner ikke akkurat den der på den formen.

[Solar Plexsus]

Dette er en separabel differensiallikningen, dvs. den kan uttrykkes på formen p(y) y' = q(x) der p og q er funksjoner. Den kan løses ved å beregne [itgl][/itgl]p(y)dy = [itgl][/itgl] q(x)dx. I ditt tilfelle er p(y) = 1/(2 + e[sup]y[/sup]) og q(x)=1.

[Jerry]

Åja, er vanskelig å se hvilken det er av og til, for meg ihvertfall.

Vel, da blir det vel:

[itgl][/itgl] dy/(2 + e[sup]y[/sup]) = [itgl][/itgl] 1 dx

Det er ikke ln |2 + e[sup]y[/sup]| = x ?

[Solar Plexsus]

For å finne integralet I=[itgl][/itgl] dy/(2 + e[sup]y[/sup]) anvender du substitusjonen u = 2 + e[sup]y[/sup]. Da får du

I = [itgl][/itgl]du/[u(u - 2)] = (1/2)[itgl][/itgl] (1/(u - 2)) - (1/u)) du (bruk delbrøkoppspaltning).

[Jerry]

Åja, vel jeg prøvde delbrøkoppspaltningen selv nå, og fikk det faktisk til.

Men står da med (1/2)[- ln|u -2| - ln|u|] = x, er det noe triksing man kan gjøre med logaritmene her?

[Solar Plexsus]

Ettersom u = 2 + e[sup]y[/sup], blir

ln|u -2| - ln|u| (du har skrevet -ln|u -2|, men det er feil fortegn)

= ln|e[sup]y[/sup]| - ln|2 + e[sup]y[/sup]| (kan sløyfe absoluttverditegnene i.o.m. eksponensialfunksjonen antar kun positive verdier)

= ln (e[sup]y[/sup] / (2 + e[sup]y[/sup])) (ganger teller og nevner med e[sup]-y[/sup])

= ln (1 / (2e[sup]-y[/sup] + 1))

= - ln(2e[sup]-y[/sup] + 1).

Altså må

- ln(2e[sup]-y[/sup] + 1) = 2x + C[sub]1[/sub]

der C[sub]1[/sub] er en vilkårlig konstant. Resten klarer du sikkert selv.

[Jerry]

Nuvel,

-ln(2e[sup]-y[/sup] +1) = 2x + C
ln(2e[sup]-y[/sup] +1) = -2x - C
2e[sup]-y[/sup] +1 = e[sup]-2x[/sup] * e[sup]C[/sup]
e[sup]-y[/sup] = (e[sup]-2x[/sup] * e[sup]C[/sup] -1)/2
-y = ln ( (e[sup]-2x[/sup] * e[sup]C[/sup] -1)/2 )

Blir litt voldsomt, fasiten sier y = -ln(Ce[sup]-2x[/sup] - (1/2))
Det som er fast når jeg gjør disse diff.lign. er at jeg får feil med denne konstanten, jeg vet ikke når jeg skal legge den til, for jeg bruker bare å slenge den på til slutt.

[Fat_Mike]

konstanten må du slenge på for hver integrasjon du utfører.(men du kan slå dem sammen til en helt til slutt)