Cise konvergens av | sin( 1/n^2 ) |

[Nebuchadnezzar]

Skal vise at rekken [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \left| \sin \Bigl( \frac{1}{n^2} \Bigr) \right| [/tex] konvergerer.

Tror jeg har en viss anelse for hvordan jeg skal gå frem, men kan
noen hjelpe meg å tette hullene?

1) for [tex]n>1[/tex] så har vi at [tex] \left| \sin \Bigl( \frac{1}{n^2} \Bigr) \right| = \sin \Bigl( \frac{1}{n^2} \Bigr) [/tex]. (Ser at dette stemmer, men hvordan viser jeg det formelt?)

2) siden [tex]x \geq sin x[/tex] når [tex]x>0[/tex] så har vi at [tex]\frac{1}{x^2} > \sin \Bigl( \frac{1}{n^2} \Bigr[/tex]) når [tex]x>0[/tex] og da også når [tex]x>1[/tex]. (Igjen, ser at dette stemmer, men er litt usikker på om argumentet mitt holder / er riktig?)

3) Siden vi vet at [tex]1/n^2[/tex] konvergerer (for eksempel fra integraltesten) så konvergerer også [tex]\left| \sin \Bigl( \frac{1}{n^2} \Bigr) \right|[/tex] fra sammenlikningstesten.

Takker for svar =)

[svinepels]

Synes argumentet ser holdbart ut. 1) synes jeg ikke man burde trenge å argumentere noe særlig for, det er relativt opplagt. du kan si at vinkelen 1 i radianer ligger i første kvadrant, og at sinus til alle vinkler i første kvadrant er ikke-negativ. Siden 0 < 1/n^2 < 1 for n > 1 følger det derfor at summanden er positiv.

På 2), så kan du vise at [tex]x \leq \sin x[/tex] for [tex]x \geq 0[/tex] med sekantsetningen, men det er sikkert ikke nødvendig det heller.